15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

558

y(x)

v−1(c(x)+u0)

wˆ	w(x)

x

xˆ

Рис. 15.8. Оптимальный линейный по результатам контракт

15.1.1Задачи

/610. Барин выбирает, какую долю τ [0, 1] стоимости урожая y забирать у крестьянина в виде издольщины. При этом он максимизирует свой ожидаемый доход τy. Крестьянин максимизирует по y > 0 функцию (1 − τ)y − y2 , то есть прибыль при квадратичной функции тягости усилий.

(1)Найти оптимальную для барина долю τ .

(2)Что будет, если дополнительно к издольщине барин может использовать фиксированный оброк (r)? Какими данными следует дополнить задачу, чтобы она имела решение? Введите соответствующие обозначения, запишите целевые функции и найдите решение.

/611. [Varian] Профессор P наняла преподавателя-ассистента мистера A. Профессора интересует, сколько часов мистер A будет преподавать, а также то, сколько она должна ему заплатить. Профессор P желает максимизировать свою функцию заработной платы x − w, где x — количество часов, преподаваемых мистером A, а w — заработная плата, которую она ему платит. Если мистер A преподает x часов и получает w, то его полезность равна w − x2/2. Резервная полезность мистера A равна нулю.

(a) Если профессор P выбирает x и w, максимизируя свою полезность при ограничении, что мистер A готов на нее работать, то сколько часов будет преподавать мистер A и сколько ему придется заплатить?

(b) Предположим, что профессор P устанавливает схему заработной платы в форме w(x) = ax + b и позволяет мистеру A выбирать количество часов x. Какие значения a и b следует выбрать профессору P ? Удалось бы профессору P достичь более высокого уровня заработной платы, если бы она использовала схему w(x) более общей функциональной формы?

15.2Модель с ненаблюдаемыми действиями

S. A. Ross: The Economic Theory of Agency: The Principal’s Problem, American Economic Review 63 (1973): 134–139 S. J. Grossman and O. D. Hart: An Analysis of the Principal-Agent Problem, Econometrica 51 (1983): 7–46

Рассмотрим модель, в которой скрытыми являются действия работника, то есть наниматель не знает, какие усилия произвел работник, он наблюдает только их результат, и в этих условиях нанимателю нужно стимулировать работника выбрать уровень усилий, который бы максимизировал ожидаемую прибыль.

Примером такой ситуации является рынок страховых услуг. Если условия страхования актуарно справедливы, страхователю выгодно заключить контракт на величину, равную потенциальным потерям. Однако, застраховав имущество, многие начинают использовать его менее аккуратно, тем самым увеличивая риск его потери или порчи, то есть риск наступле-

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

559

ния страхового случая. Это связано с ненаблюдаемостью усилий по сохранению имущества и невозможностью обусловить плату уровнем этих усилий. Подобные ситуации известны в экономической теории под названием моральный риск. Ясно, что страховой компании выгодно стимулировать своих клиентов относиться к застрахованному имуществу более бережно, однако, как правило, это можно сделать только за счет неполного страхования.

15.2.1Формулировка модели и общие свойства

Пусть действия работника, x, ненаблюдаемы. Результат же действий (доход), y˜, есть (нетривиальная) случайная величина, распределение которой зависит от x:

y˜ Fx.

Здесь {Fx} — это семейство распределений с параметром x. Через Fx(·) обозначим соответствующую функцию распределения.

(В соответствии с моделью принятия решений при риске, можно предположить, что y˜ — это случайная величина, заданная на состояниях мира s S .)

Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что носитель этого распределения (область значений, принимаемых величиной y˜) не зависит от x. Содержательно это означает, что по наблюдаемым значениям y˜ нельзя однозначно определить, какие действия работник выбрал (или не мог выбрать). Такое предположение позволяет избавиться от многих технических сложностей.

Кроме того, естественно предположить, что чем больше усилия, тем более высоким должен быть результат. Поэтому будем предполагать, что распределение Fx(·) «сдвигается вправо» при росте x, т. е.

Fx1 (y) > Fx2 (y) при x1 < x2.

Это означает3, что Fx2 стохастически доминирует Fx1 при x1 < x2 . (Это свойство в дискретном случае иллюстрируется приведенными ниже примерами.) Из этого предположения следует, что чем больше усилия, тем больше ожидаемый доход:

Ex1 y˜ < Ex2 y˜ при x1 < x2.

Математическое ожидание берется по распределению Fx , следовательно, оно зависит от того, какие действия x выбрал работник. Соответственно, оператор математического ожидания мы будем писать в виде Ex . Предполагают, что наниматель нейтрален к риску, т. е. его функция выигрыша — ожидаемая прибыль. Т. е. наниматель стремиться максимизировать величину

Ex Π = Ex(˜y − w˜),

где w˜ — оплата по контракту, которая, вообще говоря, является случайной величиной. Работник максимизирует U = Ex u — математическое ожидание элементарной функции

полезности u(x, w), которая, как и раньше, зависит от объема усилий x и от вознаграждения w.

Условие участия, по аналогии со случаем полной информации, состоит в том, что работник соглашается на работу по контракту только в том случае, если его ожидаемая полезность при этом не меньше, чем его резервная полезность u0 :

Ex u > u0.

Для упрощения анализа чаще всего рассматривают частные случаи, когда функция u(x, w) имеет простой вид. Две самых популярных спецификации функции полезности работника имеют следующий вид:

u(x, w) = v(w − c(x))

3Более точно, речь идет о стохастическом доминировании первого порядка.

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

560

и

u(x, w) = v(w) − c(x),

где v(·) — возрастающая вогнутая функция, а c(·) — возрастающая выпуклая функция. Оба типа функции сепарабельны по w и x (первая в каком-то смысле еще и квазилинейна

по зарплате w), и включают функцию v(·), позволяющую моделировать отношение работника к риску (риск может быть связан с тем, что получаемая им оплата w является случайной величиной). Нейтральный к риску работник будет иметь линейную возрастающую функцию v(·), которую без потери общности можно считать равной v(z) = z . Поэтому мы будем называть работника нейтральным к риску, если

u(x, w) = w − c(x).

Как правило, предполагается, что работник не склонен к риску, то есть функция v(·) вогнута4. Работник является рискофобом, если функция v(·) строго вогнута. При этом, если v(·) дифференцируема, то она имеет положительную убывающую производную.

Поскольку действия x ненаблюдаемы, то оплата по контракту не может быть обусловлена предпринимаемыми работником действиями (усилиями) x. В предположении, что наблюдаемыми являются результаты y˜ этих усилий, рассмотрим модель контрактных отношений, при которых оплата по контракту обуславливается полученными результатами (как сигналами относительно уровня усилий). Поэтому в рассматриваемой модели с ненаблюдаемыми действиями контракт — это функция вида w = w(y).

Как и ранее, мы будем предполагать, что наниматель, выбирая контракт, знает функцию полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный. Таким образом, модель представляет собой динамическую игру. Последовательность ходов в этой игре следующая:

1.Наниматель предлагает контракт w(·).

2.Работник выбирает, работать ему или нет.

3.Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.

4.«Природа» при данном x по распределению Fx случайным образом «генерирует» y˜.

Контракт представляет собой дележ дохода y между нанимателем и работником, и, тем самым, задает их выигрыши.

0 u0

Наниматель

w(·)

	Работник
	x
[Fx]	Природа
	y˜

Ex(˜y−w(˜y))

Exu(w(˜y),x)

Рис. 15.9. Представление модели наниматель-работник с ненаблюдаемыми действиями в виде дерева

4Ясно, что функция v(·) моделирует отношение к риску только с точки зрения w , но не с точки зрения x. Но для нас это несущественно, поскольку в данной модели усилия x не являются случайными.

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

561

Для поиска решения этой модели можно воспользоваться обратной индукцией. При заданном контракте w(·) оптимальный для работника уровень усилий является решением следующей задачи:

U = Ex u(w(˜y), x) → max .

x X

Учитывая это, задача поиска оптимального для нанимателя контракта имеет следующий вид:

Ex Π = Ex (˜y − w(˜y)) → max

x ,w(·)

x argmax Ex u(w(˜y), x)

x X

(ограничение совместимости стимулов),

Ex u(w(˜y), x ) > u0

(ограничение участия).

Объяснение того, почему задача нанимателя включает выбор усилий x , такое же, как для модели с наблюдаемыми действиями: работник предполагается «благожелательным» по отношению к нанимателю, в том смысле, что из равновыгодных для себя действий готов выбрать выгодные для нанимателя5.

Проанализируем сначала модель с наблюдаемыми действиями, но со случайными результатами. Это даст нам «идеальную» точку отсчета для анализа модели с ненаблюдаемыми действиями. При этом, как и выше (в ситуации, когда результат однозначно определяется выбором уровня усилий), рассмотрим вспомогательную задачу, в которой определятся оптимальные для нанимателя значения x и w при ограничении участия:

Ex(˜y − w) → max

x,w

Ex u(w, x) > u0.

Поскольку в рассматриваемой задаче как w, так и x — детерминированные величины, то u(w, x) — тоже детерминированная. Таким образом, задача сводится к следующей:

max
Ex y˜ − w → x,w
u(w, x) > u0.	(15.1)

При этом, как несложно понять, данная задача характеризует не только контракты, идеальные с точки зрения нанимателя, но и Парето-оптимальные состояния, если u0 рассматривать в качестве параметра.

Здесь мы рассматриваем уровень оплаты w как детерминированный (не случайный). Это не приводит к потере общности. Действительно, если от произвольной случайной оплаты w˜ перейти ее безрисковому эквиваленту, то ожидаемая прибыль не уменьшится (поскольку наниматель нейтрален к риску, а работник не склонен к риску), в то время как ожидаемая полезность останется на прежнем уровне. Поэтому достаточно рассматривать только случаи, когда плата не случайная. Если же работник — рискофоб (характеризуется строгим неприятием риска), то безрисковый эквивалент случайной оплаты w˜ меньше Ex w˜ , поэтому указанное изменение приводит к росту прибыли.

При

u(x, w) = v(w) − c(x),

5Это предположение базируется на том, что наниматель может простимулировать благожелательные действия работника (доплатить ему).

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

562

выражая w из ограничения участия, получаем следующую задачу:

E	x	y˜	−	v−1(c(x) + u	)	→	max .	( )
				0			x

Как и раньше, обозначим соответствующую «идеальную» ситуацию (ˆx, wˆ). Если из задачи ( ) найден эффективный уровень усилий xˆ, то соответствующая плата должна быть равна

wˆ = v−1(c(ˆx) + u0).

Фактически, анализ здесь повторяет анализ при однозначности результата с заменой y(x) на Ex y˜. Как и при при однозначности результата, указанную идеальную ситуацию можно реализовать бесконечным числом способов в виде контракта w(·), зависящего от усилий x. (Например, можно использовать пакетный контракт.) Кривая w(x) должна лежать под кривой v−1(c(x) + u0) и касаться ее в точке (ˆx, wˆ). При этом достигается Парето-оптимум с точки зрения соответствующих целевых функций: ожидаемой прибыли Ex(˜y − w˜) и ожидаемой полезности Ex v(w˜) − c(x).

Предположим теперь, что усилия ненаблюдаемы. Поскольку оплату по контракту можно обуславливать только наблюдаемыми величинами, то в данной ситуации приходится обуславливать величину оплаты результатом6 y. Таким образом, из всех рассмотренных выше контрактов (для модели с наблюдаемыми действиями) можно реализовать только линейный по результатам контракт:

w(y) = a + by.

который является оптимальным по Парето в случае, если это контракт с полной ответственностью:

w(y) = y − A.

Покажем, что наилучший для нанимателя контракт вида w(y) является оптимальным по Парето лишь при ограничительных предположениях относительно отношения к риску работника. Об этом свидетельствуют следующие два утверждения.

Теорема 147:

Если работник нейтрален к риску, то наилучший для нанимателя контракт с полной ответственностью является Парето-оптимальным и эквивалентен с точки зрения ожидаемой прибыли и ожидаемой полезности идеальному контракту (ˆx, wˆ).

Доказательство: Ожидаемая прибыль в данной ситуации равна Ex(˜y−y˜−A) = A, а ожидаемая полезность равна Ex(˜y − A) − c(x) = Ex y˜ − A − c(x).

Задача максимизации ожидаемой полезности по x имеет вид.

Ex y˜ − A − c(x) → max .

x X

Она эквивалентна задаче ( ), поскольку при нейтральности к риску v−1(w) = w. Таким образом, работник выберет эффективные усилия xˆ. Параметр A наилучшего для нанимателя контракта с полной ответственностью находится из условия участия (полезность равна u0 ):

A = Exˆ y˜ − c(ˆx) − u0.

При этом ожидаемая прибыль равна Exˆ y˜ − c(x) − u0 , то есть она такая же, какая достигается в задаче ( ).

6Если, конечно, нет какого-либо другого сигнала, наблюдаемого нанимателем.

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

563

Очевидно, что описанный в теореме контракт7 является не только оптимальным по Парето, но и оптимальным для нанимателя среди всех возможных контрактов, и факт ненаблюдаемости усилий в данном случае несущественен, поскольку этот контракт решает задачу максимизации ожидаемой прибыли при единственном ограничении — ограничении участия. (Это Парето-оптимальное состояние, в котором один из игроков получает минимальный выигрыш. Следовательно, другой игрок получает максимально возможный выигрыш.) Таким образом, при нейтральности работника к риску модель, фактически, сводится к модели с наблюдаемыми действиями. Но, по существу, это единственная содержательно интересная ситуация, в которой ненаблюдаемость усилий не имеет значения, что и показывает следующее утверждение.

Теорема 148:

Если работник — рискофоб, и допустимый контракт w(·) таков, что w˜ = w(˜y) — нетривиальная случайная величина, то соответствующая ситуация не является оптимальной по Парето и идеальной для нанимателя, поскольку можно увеличить ожидаемую прибыль, не уменьшая ожидаемой полезности.

Доказательство: Действительно, в данной ситуации можно случайную оплату w˜ заменить на ее безрисковый эквивалент. При этом по определению ожидаемая полезность работника не изменится, ожидаемая же прибыль вырастет (у рискофоба безрисковый эквивалент нетривиальной случайной оплаты строго меньше математического ожидания такой оплаты).

Из этого утверждения следует, что контракт с полной ответственностью в случае работника — рискофоба не будет Парето-оптимальным и идеальным для нанимателя, поскольку w˜ = y˜ − A — нетривиальная случайная величина. Это связано с тем, что наниматель заинтересован в известной степени застраховать такого работника.

Другое следствие состоит в том, что если при ненаблюдаемости действий работник является рискофобом, то Парето-оптимальность достижима только в случае, когда плата w(˜y) детерминированная. Ясно, что такой контракт не является стимулирующим и работник, работая по нему, будет делать наименьшие возможные усилия x = min(X) (если соответствующий минимум существует). Следовательно, Парето-оптимальность достижима только если среди эффективных контрактов есть контракты с минимальными возможными усилиями, то есть только в содержательно неинтересном случае, когда нанимателю нет смысла стимулировать работника, достаточно дать ему минимальную плату, обеспечивающую резервную полезность.

Как только что указано, при нестимулирующем контракте работник будет делать наименьшие возможные усилия. Верно и обратное: в том случае, когда наниматель стремится побудить работника делать наименьшие усилия x = min(X), он заинтересован полностью застраховать работника (т. е. платить ему постоянную сумму, не зависящую от результатов). Рассуждения здесь такие же как в последней теореме. Если бы это было не так, то можно было бы увеличить прибыль, не меняя полезности работника (оставив ее на самом низком, резервном, уровне).

В общем случае оптимальный контракт — это компромисс между двумя противоположными целями, которые преследует наниматель: целью стимулирования работника выполнять выгодные для нанимателя действия и целью страхования работника от риска.

Заметим, что предположение о том, что носитель распределения y˜ не зависит от величины усилий x является существенным для проводимого здесь анализа. Так, в крайнем случае зависимости носителя распределения y˜ от усилий — когда эти носители при разных действиях не пересекаются — по результату можно однозначно установить, предпринимал ли работник те или иные усилия. В этом случае усилия оказывается наблюдаемыми косвенным образом, и оптимальный контракт оказывается тем же, что и в случае наблюдаемых усилий.

7Ясно, что то же самое верно и для любого другого контракта, который приводит к тем же ожидаемым выигрышам.