3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя

90

Данные соотношения должны быть знакомы читателю по курсам микроэкономики промежуточного уровня. Обычно они переформулируются в терминах эластичностей спроса по доходу и ценам.

Определение 27:

Эластичностью спроса на i-ое благо по доходу называется величина

EiR = EiR(p, R) =	∂xi(p, R)		R	.
	∂R
		xi(p, R)

Эластичностью спроса на i-ое благо по цене i-го называется величина

Ep	= Ep	(p, R) =	∂xi(p, R)		pj	.
ij	ij		∂pj xi(p, R)

Доля дохода, затрачиваемого на покупку i-го блага — это

µi(p, R) = pixi(p, R) = pixi(p, R). px(p, R) R

В этих обозначениях Теорема 33 может быть переформулирована в следующем виде.

Теорема 34:

Пусть x(p, R) — решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) — непрерывно дифференцируемая функция. Тогда выполнены следующие свойства:

Xi	µiEijp (p, R) = −µj(p, R)		для всех j ;
EkR(p, R) = − Xi		Ekip (p, R)	для всех k;

X µi(p, R)EiR(p, R) = 1.

i

Доказательство: Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (см. задачу 130).

Перечисленные в данном параграфе соотношения важны для характеризации спроса, порожденного моделью рационального поведения. В частности, полученные свойства функции расходов (и матрицы Слуцкого) вместе с некоторыми из тех, которые указаны в Теореме 26 на с. 77, являются не только необходимыми (как мы только что установили), но и достаточными (как покажем далее) условиями того, что некоторая функция цен и уровней полезности является функцией расходов рационального потребителя. Это дает возможность проверять согласованность наблюдаемого потребительского поведения с моделью рационального поведения и восстанавливать предпочтения потребителя на основе его рыночного поведения (см. параграф 3.C).

3.2.1Задачи

/121. Докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формируется за счет продажи начальных запасов ω.

/122. Сформулируйте и докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w, потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ, количество потребления которого выбирает потребитель.

/123. Проверьте выполнение леммы Шепарда, тождества Роя и уравнения Слуцкого для следующих функций полезности:

3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя		91
(a) Кобба — Дугласа,	(b) CES,	(c) Леонтьева,
(d) линейной,	(e) квазилинейной,	(f) аддитивной.

/124. Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени. Пусть, кроме того, в экономике обращается только два товара. Докажите симметричность матрицы Слуцкого, не пользуясь предположением о максимизации полезности потребителем.

/125. Пусть S — матрица коэффициентов замены. Докажите, что Sp = 0.

/126. В экономике 2 товара. Известно, что в матрице замены S11 = −2 и S22 = −1. Чему равен элемент S21 ?

/127. Матрица замены при ценах p1 = 1, p2 = 2, p3 = 6 имеет вид

−10	?	?
?	−4	? .

3? ?

Найдите пропущенные элементы. Может ли эта матрица быть матрицей замены рационального потребителя?

/ 128. Пусть в экономике представлено 3 блага. Спрос на первое и второе блага имеет следующий вид:

x1(p, R) =	R				, x2(p, R) =	R
									.
	2p1(1 + p		)			2p2(1 + p		)
		p2/p1					p2/p1

Проверьте выполнение уравнения Слуцкого.

/ 129. [MWG] В экономике с тремя благами потребитель имеет положительный доход R > 0 и его функции спроса на первое и второе благо равны

x1(p, R) = 100 − 5

p1

+ β

p2

+ δ

R

,

x2(p, R) = α + β

p1

+ γ

p2

+ δ

R

,

p3

p3

p3

p3

p3

p3

где α, β, γ, δ > 0.

(a)Объясните, как можно рассчитать спрос не третье благо (вычисления делать не надо).

(b)Являются ли функции спроса для x1 и x2 однородными требуемой степени?

(c)Какие ограничения на параметры α, β, γ, δ должны выполняться, чтобы данные функции спроса могли быть порождены задачей максимизации полезности?

(d)Используя результаты предыдущего пункта для фиксированного значения спроса на 3-й товар, изобразите кривые безразличия в пространстве (x1, x2).

(e)Что можно сказать о свойствах функции полезности этого потребителя? (Используйте результаты предыдущего пункта.)

/130. Докажите Теоремы 33 и 34.

/131. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то функции спроса

удовлетворяют соотношению

∂xi(p, R) = ∂xj(p, R). ∂pj ∂pi

/ 132. Пусть для некоторого потребителя значения эластичности спроса по доходу равны по всем товарам. Найдите, чему равно это значение.

/ 133. Пусть функция полезности однородна первой степени. Чему равны эластичности спроса по доходу?

/ 134. Используя теорему об огибающей, докажите, что hi(p, u) = ∂e(p,u) (тождество Роя).

∂pi

/ 135. Используя теорему об огибающей, докажите, что ∂v(p,R) («предельная полезность де-

∂R

нег») равна значению множителя Лагранжа задачи потребителя.

/ 136. Проверьте выполнение свойства, указанного в предыдущей задаче, для функции полезности u(x) = √x1 + a√x2 (см. Примеры 13 и 11).