4.4. Затраты и издержки							153
/ 220. Пусть функция прибыли производителя имеет вид
π(w, po) = po	α		α/w	α	− w	α	(poα)	α
	1−α			1−α		1−α		1−α	.

Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Найдите функцию спроса. Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.

4.4Затраты и издержки

Итак, мы изучили основные свойства модели рационального поведения производителя. В микроэкономике утвердилась также традиция описывать технологию посредством функции издержек, решая при этом задачу максимизиции прибыли в два этапа. На первом находится минимальные затраты (и соответствующая им технология), которые позволяют произвести данное количество продукции. Соответствующая зависимость между выпусками и этими (минимальными) затратами и называется функцией издержек. На втором, при известной функции издержек, при заданных ценах (или зависимостях этих цен от результатов производственной деятельности) на выпускаемую продукцию и (факторы производства) находится тот выпуск, которому соответствует максимальная прибыль. Такое разделение задачи «планирования» производства на два этапа представляется удобным исследовательским приемом, и особенно при исследовании моделей равновесия в производством, удовлетворяющим условиям постоянной отдачи от масштаба, а также при анализе моделей несовершенной конкуренции, когда поведение производителя оказывает влияние на рыночные цены.

Вэтом параграфе приведем соответствующие результаты относительно свойств функций издержек и связь этого понятия с теми понятиями, которые были рассмотрены выше.

Вэтом параграфе для упрощения обозначений вектор выпуска мы будем обозначать через y (вместо yo ). Как и ранее, r — вектор соответствующих затрат.

4.4.1Множество требуемых затрат

Определение 40:

Для каждого вектора выпуска y множество требуемых затрат V (y) — это множество векторов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологическом множестве Y , т. е.

V (y) = { r | (−r, y) Y } .

Из предполагаемых свойств Y вытекают некоторые свойства множества V (y) и соответствующего отображения V (·):

1.Из выпуклости Y следует выпуклость множеств V (y):

2.Из свободы расходования для Y следует свобода расходования для множеств V (y):

r V (y), r0 > r r0 V (y).

Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно.

Обычно предполагается монотонность отображения V (·), т. е. вложенность множеств V (y):

y 6 y0 V (y0) V (y).

Множества V (y), как и Y , в предположении свободного расходования можно строить по производственной функции:

V (y) = { r | f(r) > y } .

Обратно, в случае однопродуктовой технологии (y R) можно определить на основе V (·) производственную функцию следующим образом:

f(r) = max y.

y: r V (y)

4.4. Затраты и издержки	154
	r2
	V (y0)
	V (y)
	y<y0
	r1
	Рис. 4.11. Монотонность V (·)

Теорема 56:

Если отображение V (·) монотонно, то соответствующая производственная функция монотонна, а если к тому же множества V (y) выпуклы, то она квазивогнута.

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.

В терминах множеств V (y) можно определить изокванты для данной технологии

Q(y) = { r V (y) | r / V (y0), y0 > y } .

Это множество таких векторов затрат r, которые позволяют произвести y, но не позволяют произвести больше y. Таким образом, изокванта Q(y) — это граница множества V (y).

Например, для производственной функции Кобба — Дугласа с двумя видами затрат имеем

Y = { (−r1, −r2, y) | y 6 r1αr21−α } ,

V (y) = { (r1, r2) | y 6 r1αr21−α } ,

Q(y) = { (r1, r2) | y = r1αr21−α } .

Напомним, что через w мы обозначили цены затрачиваемых ресурсов (часть общего вектора цен p, соответствующая −r).

4.4.2Функция издержек

По аналогии с Задачей 3 рассмотрим следующую задачу

Задача 4.

wr → min

r

r V (y).

Обозначим множество цен факторов, на котором существует решение Задачи 4 при объеме выпуска y, через W (y).

Определение 41:

Функция издержек c(w, y) — это значение целевой функции Задачи 4; для каждого вектора выпуска y и вектора цен факторов w W (y) она указывает минимальную величину издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести y.

4.4. Затраты и издержки

155

r2

V (y)

изокванта

Q(y)

r1

Рис. 4.12. Построение функции издержек

Если технологическое множество задано производственной функцией y 6 f(r), то Задача 4 примет вид:

wr → min

r

y 6 f(r).

Функция издержек обладает следующими свойствами.

Теорема 57 ((Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)):

Функция издержек c(w, y)

(1) положительно однородна первой степени по ценам факторов: c(λw, y) = λc(w, y) y, w W (y);

(2)монотонна по ценам факторов и выпуску при ????;

(3)вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W (y);

(4) непрерывна по ценам на внутренности множества W (y), int W (y).

Доказательство: Доказательство свойств (1), (3) и (4) аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения.

Докажем только монотонность функции издержек.

w0 >6= w c(w0, y) > c(w, y) w, w0 W (y).

Пусть r > 0 — оптимальные затраты при ценах факторов w и выпуске y, т. е. wr = c(w, y).

Из w0	= w, следует, что c(w, y) = wr < w0r	6	c(w0, y).
	>6

В дальнейшем нам понадобится также понятие функции условного спроса.

Определение 42:

Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) есть оптимальное решение Задачи 4 при выпуске y и ценах факторов w.

Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y .

Теорема 58 ((Свойства функции условного спроса на факторы)):

1)Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) однородна нулевой степени как функция цен факторов производства w.

2)Если множество V (y) строго выпукло, то r(w, y) — однозначная непрерывная функ-

ция w.

4.4. Затраты и издержки

156

Доказательство: Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения.

Если, кроме того, функция издержек дифференцируема, то верна следующая лемма Шепарда, связывающая издержки и функцию условного спроса на факторы.

Теорема 59:

Пусть функция издержек дифференцируема по ценам факторов при объеме производства y.

Тогда для всех w int W (y) выполнено

∂c(w, y) = ri(w, y) ∂wi

или

rwc(w, y) = r(w, y).

Доказательство: Зафиксируем цены факторов на уровне w˜ int W (y). Введем функцию на

W (y):

γ(w) = c(w, y) − wr(w˜ , y).

По определению функции издержек и функции условного спроса γ(w) достигает максимума, равного нулю, в точке w˜ :

γ(w) 6 0 и γ(w˜ ) = 0.

Если функция издержек дифференцируема по ценам факторов, то функция γ(·) тоже дифференцируема. Поскольку точка w˜ внутренняя в W (y), то по условию первого порядка максимума градиент ее должен быть равен нулю:

rγ(w˜ ) = rwc(w˜ , y) − r(w˜ , y) = 0.

Как было указано выше, использование функции издержек позволяет рассматривать максимизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии и соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором этапе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая в этом случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками:

py − c(w, y) → min .

y Y o

Здесь через p мы обозначили цены продукции, а через Y o — те объемы производства, которые допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые вместе с y составляют допустимую технологию):

Y o = { y | r : (−r, y) Y } .

Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция издержек дифференцируема, и решение рассматриваемой задачи, y¯ , является внутренним (т. е. y¯ int Y o ), то оно характеризуется следующим условием первого порядка:

∂c(w, y¯) = pk k, ∂yk

или, в векторной записи,

ryc(w, y¯) = p.