13.1. Классическая модель монополии

474

p

a

pM

c

DL

y

yM

yˆ

Рис. 13.7.

13.1.4Существование равновесия при монополии

Заметим, что множество допустимых решений задачи монополиста (y > 0) неограниченно, и поэтому мы можем гарантировать существование равновесия лишь при некоторых предположениях относительно поведения функций спроса и издержек. Приведенная ниже теорема существования указывает на такие условия.

Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество «возможных» монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса задача максимизации прибыли монополиста на y > 0, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку.

Теорема 131:

Пусть выполнены следующие условия:

•функция издержек, c(y), непрерывна на [0, ∞),

•обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает на [0, ∞),

•существует y˜ > 0 такой, что W (y) 6 W (˜y) при y > y˜.

Тогда равновесие при монополии существует.

Доказательство: Докажем, что при сделанных предположениях Π(y) < Π(˜y) при y > y˜. Поскольку при всех y p(y) является ценой, при которой репрезентативный потребитель

выбирает y, то при любой другой величине потребления излишек потребителя не может быть выше. В частности, для y˜ выполнено

v(y) − p(y)y > v(˜y) − p(y)˜y.

Далее, поскольку обратная функция спроса убывает, то при y > y˜ выполнено p(˜y) > p(y), откуда p(˜y)˜y > p(y)˜y.

Кроме того, по условиям теоремы при y > y˜ выполнено v(˜y) − c(˜y) > v(y) − c(y). Складывая эти три неравенства, получим, что при y > y˜ выполняется

Π(˜y) = p(˜y)˜y − c(˜y) > Π(y) = p(y)y − c(y).

13.1. Классическая модель монополии

475

Таким образом, прибыль в точке y˜ выше, чем в любой большей точке y > y˜, поэтому задача максимизации прибыли при y > 0 сводится к задаче максимизации прибыли на отрезке [0, y˜].

Из предположений теоремы следует, что функция прибыли Π(y) непрерывна. Непрерывная функция прибыли по теореме Вейерштрасса должна достигать максимума на компактном множестве [0, y˜], откуда следует существование точки yM , которая максимизирует прибыль при ограничении y > 0.

Третье условие теоремы подразумевает, что после какого-то предела невозможно наращивать благосостояние простым ростом объема производства блага. Выбор объема производства выше y˜ не имеет смысла с точки зрения общественного благосостояния. Как видно из доказательства теоремы, из этого условия следует, что монополия тоже не станет выбирать объемы производства выше y˜.

Заметим, что вместо предположений относительно поведения благосостояния можно сделать соответствующие предположения относительно его производной v0(y)−c0(y) = p(y)−c0(y). Следует предположить, что функция издержек c(y) и обратная функция спроса p(y) явля-

ются дифференцируемыми, p0(y) < 0 при [0, ∞), и что существует выпуск y˜ > 0 такой, что p(y) < c0(y) при y > y˜.

13.1.5Задачи

/545. Пусть D(p) = 10p−3 , c(y) = 2y. Каковы оптимальный выпуск и цена устанавливаемые монополистом?

/546. Обоснуйте предложенный в тексте (см. с. ?? и Рис. 13.2) способ построения кривой предельного дохода по кривой спроса. (Подсказка приведена в сноске 4.)

/547. Пусть спрос на монопольном рынке порожден двумя группами потребителей, функции спроса которых имеют вид:

p1(y) = a1 − b1y и p2(y) = a2 − b2y.

Какова общая функция спроса на продукцию данного монополиста? Какой объем производства окажется оптимальным для монополиста при разных значениях параметров?

/ 548. Вычислите индекс Лернера, если предельные издержки монополиста постоянны, а функция спроса на его продукцию имеет вид:

1) p(y) = a − by,	2) p(y) = ay−b,
3) p(y) = a − byd,	4) p(y) = a − b ln(y),

(Параметры должны быть такими, чтобы равновесие существовало.)

/ 549. Вычислите в условиях предыдущей задачи как в первом приближении изменится цена, назначаемая монополистом, если его продукция облагается налогом по ставке t.

/ 550. Пусть спрос на продукцию монополиста равен 4 − p. Предельные издержки равны 1 + y/4. Какую сумму монополист готов заплатить за инновацию, снижающую предельные издержки до уровня 1 + y/8?

/551. Покажите прямыми вычислениями, что в ситуациях, описанных в задаче 548, объем производства, оптимальный с точки зрения монополиста, меньше такого объема производства, при котором цена равна предельным издержкам.

/552. Предположив, что, p0(·) < 0, покажите, что дотация на продукцию монополии приведет к увеличению объема производства. Рассчитайте величину дотации, обеспечивающую совпадение величин yM и yˆ.

Какой величины дотации обеспечивают совпадение объемов производства yM и yˆ в ситуациях, описанных в задаче 548?

/553. При каких значениях параметров функций спроса и издержек, описанных в задаче 548, функция прибыли окажется вогнутой функцией объемов выпуска?