17.2. Однородные функции	686

17.2Однородные функции

Напомним, что функция ϕ(x): Rn 7→R называется положительно однородной степени α, если для любого положительного числа t выполнено

ϕ(tx) = tαϕ(x).

Теорема 179:

Дифференцируемая функция ϕ(·) является положительно однородной степени α тогда и только тогда, когда выполняется тождество (формула Эйлера)

	n	∂ϕ(x)
	xi		= αϕ(x).
	Xi	∂xi
	=1

Теорема 180:

Если дифференцируемая функция ϕ(x) положительно однородна степени α, то ее производная

∂ϕ(x) i положительно однородна степени α − 1.

∂xi

17.3Теорема Юнга

Теорема 181 ((теорема Юнга)):

Пусть функция f : Rn → R дважды непрерывно дифференцируема в точке x Rn . Тогда

	∂2f(x)		∂2f(x)
		=		, i, j = 1, . . . , n.
∂xi∂xj			∂xj∂xi

17.4Теоремы о неподвижной точке

Теорема 182 ((теорема Брауэра)):

Пусть A Rn — непустое, компактное и выпуклое множество и функция f : A → A непрерывна на A. Тогда существует точка x¯ A:

x¯ = f(x¯).

Теорема 183 ((теорема Какутани)):

Пусть A Rn — непустое, компактное и выпуклое множество и f : A → A — полунепрерывное сверху отображение, такое что f(x) — непустое выпуклое множество для любой точки x A. Тогда существует точка x¯ A:

x¯ f(x¯).

17.5Теоремы отделимости

Теорема 184 ((теорема Минковского)):

Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество C Rn и точка x Rn , не принадлежащая C . Тогда найдется вектор a Rn , a 6= 0, и два числа b1, b2 R, b1 > b2 , такие что

выполнены неравенства:

n

X

aixi > b1

i=1

и

n

X

aiyi 6 b2 y C.

i=1

17.6. Теорема об огибающей

687

Теорема 185:

Пусть имеются два непустых выпуклых множества C1, C2 Rn не имеющие общих точек. Тогда найдется вектор a Rn , a 6= 0, и число b R, такие что выполнены неравенства:

n

X

aixi > b x C1.

i=1

и

n

X

aiyi 6 b y C2.

i=1

17.6Теорема об огибающей

В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых теоремами об огибающей) следующего типа:

Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра a.

φ(x1, . . . , xn, a) → max
ψj(x1, . . . , xn, a) = 0, j = 1, . . . , m.	(>)

Теорема 186:

Пусть x(a) — решение задачи (>), λ(a) — множители Лагранжа, соответствующие решению, и l(a) = φ(x(a), a).

Предположим, что в точке a0 выполнены следующие свойства:

♣функции φ(·) и ψj(·) вогнуты и дифференцируемы,

♣решение задачи существует и единственно и функция x(·) дифференцируема, Тогда выполняется соотношение

	dl(a0)		∂φ(x(a0), a0)		m	∂ψj(x(a0), a0)
		=		+	λj(a0)		.
	da		∂a		Xj	∂a
					=1

17.7Свойства решений параметрической задачи оптимизации

Рассмотрим следующую параметрическую задачу оптимизации:

f(x, λ) → max

x	(P)

x X(λ).

Здесь λ Λ — параметр задачи (Λ Rm ), X(λ) — множество допустимых решений при данных значениях параметров, которое является подмножеством Rn (X(λ) 2Rn ). Обозначим через x(λ) множество точек, являющихся решениями следующей этой задачи при данных значениях параметров λ. Обозначим через ϕ(λ) значение данной задачи при тех параметрах λ, при которых x(λ) непусто. Заметим, что x(·) можно рассматривать как отображение. Теорема Вейерштрасса гарантирует непустоту множества λ, если множество допустимых решений X(λ) является компактным.

Определение 105:

¯
Отображение X(λ) является полунепрерывным сверху в точке λ, если для всякого ε > 0 суще-
¯	для всех λ из
ствует δ > 0 такое, что ε-окрестность множества X(λ) содержит множества X(λ)
¯
δ -окрестности λ.
¯
Отображение X(λ) является полунепрерывным снизу в точке λ, если для всякого ε > 0 существует
¯	¯

δ > 0 такое, что для всех λ из δ -окрестности λ ε-окрестность множеств X(λ) содержит X(λ). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.

	17.7. Свойства решений параметрической задачи оптимизации					688
	Теоремы о непрерывности решений параметрической задачи оптимизации являющихся следствия-
	ми следующего утверждения, известного как теорема Бержа:
	Теорема 187:
	Предположим, что отображение X(·): Λ 7→2Rn , и функция f(·):				(x, λ)		λ Λ, x X(λ) 7→
		¯
	R непрерывны в окрестности точки		. Тогда отображение	x( ) является полунепрерывным сверху
		λ
				·
	¯
	в точке λ.

Поскольку постоянное отображение X(λ) = X является непрерывным, то следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы Бержа.

Теорема 188:

Пусть отображение x(·) ставит в соответствие параметру λ Λ (Λ Rm ) множество точек, являющихся решениями следующей экстремальной задачи:

								max .
						f(x, λ) → x				X
Предположим, что функция f(·):						(x, λ)		λ Λ, x X(λ) 7→R непрерывна в окрестности точки
¯		x(	)							¯
λ					полунепрерывным сверху в точке λ.
	. Тогда	·		является

Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).

Следующие теоремы являются следствиями теоремы Бержа (Теорема 187), поскольку, во-первых, полунепрерывное сверху однозначное отображение (функция) непрерывно, во-вторых, отображение, которое ставит в соответствии вектору цен бюджетное множество, непрерывно

Теорема 189:

Пусть x(p) — множество решений задачи

u(x) → max

x

px 6 β(p), x X,

где p Rn+ , X Rn , X — замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 X . Функция u(·) непрерывна и строго квазивогнута на X .

Если функция β(p) непрерывна и положительна при p = p¯ , то функция x(p) непрерывна в точке p¯ .

Теорема 190:

Пусть x(p) — множество решений задачи

u(x) → max

x

px 6 β(p), x X,

где p Rn++ , X Rn , X — замкнутое, выпуклое множество и 0 X . Функция u(·) непрерывна и строго квазивогнута на X .

Если функция β(p) непрерывна и положительна при p = p¯ , то функция x(p) непрерывна в точке p¯ .

Теорема 191:

Пусть x(p) — множество решений задачи

u(x) → max

x

px 6 β(p), x X,

где p Rn+ , X Rn , X — замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 X . Функция u(·) непрерывна и квазивогнута на X .

Если функция β(p) непрерывна и положительна при p = p¯ , то выпуклозначное отображение x(p) полунепрерывно сверху в точке p¯ .

17.8. Теоремы о дифференцируемости значения экстремальной задачи		689
Теорема 192:
Пусть x(p) — множество решений задачи
u(x) →	max
	x

px 6 β(p), x X,

где p Rn++ , X Rn , X — замкнутое, выпуклое и множество и 0 X . Функция u(·) непрерывна и квазивогнута на X .

Если функция β(p) непрерывна и положительна при p = p¯ , то выпуклозначное отображение x(p) полунепрерывно сверху в точке p¯ .

Теорема 193:

¯ ·

Предположим, что выполнены условия теоремы Бержа и x(λ) непусто. Тогда x( ) непусто в

¯ ·

некоторой окрестности точки λ, а функция ϕ( ) является непрерывной в этой точке.

Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы.

Теорема 194:

Рассмотрим задачу (P) с постоянным отображением β(x) = β . Предположим, что существует пара (x¯, y¯), такая что y¯ r(x¯) и y¯ int β . Предположим, кроме того, что функция f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окрестности точки (x¯, y¯), и |r2yyf(x¯, y¯)| 6= 0. Тогда решение задачи (P) существует и единственно при любых x из некоторой окрестности точки x¯ , причем функция r(x) непрерывно дифференцируема в этой окрестности.

Доказательство: Поскольку y¯ является внутренним решением задачи (P) при x = x¯ . Это означает, что пара (x¯, y¯) удовлетворяет условиям первого порядка:

ryf(x¯, y¯) = 0.

Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относительно соотношения

ryf(x, y) = 0

и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = r¯(x), определенная в некоторой окрестности точки x¯ и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности

r¯(x) следует, что существует окрестность точки x¯ , в которой r¯(x) β .
Поскольку r¯(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f(x, y)	строго вогнута по y ,
то r¯(x) является единственным решением задачи (P) при данном x.

По теореме о неявной функции См. напр., В. А. Зорич, Математический анализ I, М., МЦНМО, 2001, с. 568-69.??

17.8Теоремы о дифференцируемости значения экстремальной задачи

Рассмотрим класс экстремальных задач, зависящих от параметра p Rm .

φ(x, p) → max

x

x X Rn

Предположим, что эта задача имеет решение при всех p P , а функция φ(·) дифференцируема. Обозначим l(p) = φ(x(p), p) p P .

Теорема 195:

Функция l(p) имеет производную в точке p int P тогда и только тогда, когда решение задачи, x(p), единственно.

17.9. Теоремы Куна—Таккера	690

17.9Теоремы Куна—Таккера

Теоремы Куна — Таккера — родовое название для утверждений, представляющих собой обобщение теоремы Лагранжа на случай задач оптимизации с ограничениями в виде неравенств, т. е. задач следующего типа:

max
f(x) → x
gj(x) > 0, j = 1, . . . , m,	(?)
x = (x1, . . . , xn) X.

Здесь f : X 7→R — (в соответствие с установившейся терминологией) целевая функция, gr : X 7→R, r = 1, . . . , m, — функции ограничений, X Rn — открытое множество.

Теорема 196 (Теорема Джона в терминах седловой точки):

Пусть функции f(·), g1(·), . . . , gn(·) вогнуты и x¯ — решение задачи (?), такое что x¯ int X . Тогда существуют множители Лагранжа λj > 0, j = 0, . . . , m, не все равные нулю, такие что

x¯ является решением задачи

L(x¯, λ) → max .

x X

Мы приведем эти утверждения для случая, когда функции f, gr дифференцируемы (теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме).

Напомним, что функция

m

X

L(x, λ) = λ0f(x) + λjgj(x)

j=1

называется функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи, а коэффициенты λj — множителями Лагранжа.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 197 (Теорема Джона для дифференцируемых функций):

Пусть x¯ — решение задачи (?), такое что x¯ int X и функции f(·), g1(·), . . . , gn(·) дифференцируемы в точке x¯ .

Тогда существуют множители Лагранжа λj > 0, j = 0, . . . , m, не все равные нулю, такие что выполнены следующие соотношения (условия Куна — Таккера):

		∂L(x¯, λ)	= 0, i = 1, . . . , n
		∂xi
	и
	m	∂L(x¯, λ)			(условия дополняющей
	Xj			λj = 0	нежесткости).
		∂λj
	=1

Отметим, что условия дополняющей нежесткости можно записать в виде

gj(x¯)λj = 0, j = 1, . . . , m.

Из этих условий следует, что если множитель Лагранжа положителен (λj > 0), то соответствующее ограничение в решении задачи (при x = x¯) выполняется как равенство (т. е. gj(x¯) = 0). Другими словами, это ограничение активно. С другой стороны, в случае, когда gj(x¯) > 0, то соответствующий множитель Лагранжа λj равен нулю.

Если в задаче (?) часть ограничений имеет вид ограничений на неотрицательность некоторых xi ,

то для них можно не вводить множители Лагранжа, записав такие ограничения отдельно:
f(x) →	max
	x
gj(x) > 0, j = 1, . . . , m,		(??)
x X,
xi > 0, i P {1, . . . , n}.

17.9. Теоремы Куна—Таккера

691

Во внутренней точке (в том смысле, что1 x¯ int X ) условия первого порядка для i P тогда

будут иметь следующий вид:

∂L(x¯, λ) 6 0. ∂xi

Для i / P здесь, как и в случае представления задачи в виде (?), производная функции Лагранжа

по той переменной будет иметь вид ∂L(x¯,λ) = 0.

∂xi

Кроме того, выполнены также условия дополняющей нежесткости

m

X ∂L(x¯, λ) λj = 0,

j=1 ∂λj

X ∂L(x¯, λ) x¯i = 0.

i P ∂xi

Из второго из этих условий следует, что при x¯i > 0 (i P ) выполнено

∂L(x¯, λ) = 0. ∂xi

С другой стороны, если ∂L(x¯, λ)/∂xi < 0, то x¯i должен быть равен нулю.

Другая модификация теоремы связана с наличием в задаче ограничений в виде равенств. Обозна-

чим множество соответствующих индексов через E . Задача принимает следующий вид:
f(x) →	max
	x
gj(x) > 0, j {1, . . . , m}\E,
gj(x) = 0, j E,		(???)
x X,
xi > 0, i P {1, . . . , n}.

При этом в теореме Джона снимается условие, что все множители Лагранжа неотрицательны — множители Лагранжа λj при j E могут иметь произвольный знак.

Теорема Джона не гарантирует, что множитель Лагранжа целевой функции, λ0 , отличен от нуля. Однако если λ0 = 0, то условия Куна — Таккера характеризуют не решение рассматриваемой задачи, а структуру множества ограничений в точке x¯ и теорема не имеет непосредственной связи с интересующей нас задачей максимизации функции f(·), поскольку градиент самой функции f(·) «пропадает» из условий Куна — Таккера. Поэтому важно охарактеризовать условия, которые гарантируют, что λ0 > 0. Такие условия называются условиями регулярности.

Вслучае, когда рассматриваемая задача является выпуклой, одно из условий регулярности, — так называемое условие Слейтера — имеет вид:

Вслучае, когда целевая функция и ограничения задачи являются дифференцируемыми, простейшее условие регулярности формулируется в терминах градиентов функций-ограничений и имеет вид: градиенты активных ограничений в точке x¯ линейно независимы. (В число рассматриваемых ограничений следует включать и ограничения на неотрицательность.)

Обозначим через A множество индексов тех ограничений, которые в точке оптимума x¯ активны (в том числе, индексы всех ограничений в виде равенств), т. е.

gj(x¯) = 0 j A.

Тогда если градиенты ограничений — векторы

{rgj(x¯)}j A

линейно независимы2, то λ0 > 0. Это условие называется условием регулярности Куна — Таккера. Заметим, что если λ0 > 0, то без потери общности можно считать λ0 = 1, что обычно и делается.

Соответствующую теорему и называют собственно (прямой) теоремой Куна — Таккера.

1Но не в том смысле, что x¯i > 0 для i P .

2В конкретных приложениях может быть удобным проверять что градиенты всех ограничений линейно независимы.

17.9. Теоремы Куна—Таккера

692

Теорема 198 (Прямая теорема Куна—Таккера, необходимое условие оптимальности):

Пусть функции f(·), g1(·), . . . , gn(·) дифференцируемы, и x¯ — решение задачи (?), такое что x¯ int X и выполнено условие регулярности Куна — Таккера.

Тогда существуют множители Лагранжа λj > 0, j = 1, . . . , m, такие что при λ0 = 1 выполнены следующие соотношения:

∂L(x¯, λ) = 0, i = 1, . . . , n ∂xi

и

m

X ∂L(x¯, λ) λj = 0.

j=1 ∂λj

Несложно переформулировать эту теорему для задач (??) и (???). Здесь требуются такие же модификации условий Куна — Таккера, как и в теореме Джона.

Условие

∂L(x¯, λ) = 0, i = 1, . . . , n ∂xi

можно переписать в виде:

m

X

rf(x¯) = − λjrgj(x¯).

j=1

Это соотношение показывает, что в точке оптимума градиент целевой функции является линейной комбинацией антиградиентов ограничений, причем все коэффициенты этой линейной комбинации неотрицательны. Рис. 17.1 иллюстрирует это свойство. Интуитивно, идея этого свойства состоит в том, что если бы какой-нибудь коэффициент линейной комбинации был отрицательным, то можно было бы увеличить значение целевой функции, двигаясь вдоль этого ограничения.

x¯

Рис. 17.1. Иллюстрация теоремы Куна—Таккера

Рис. 17.2 демонстрирует последствия нарушения условия регулярности. Градиенты ограничений в точке максимума x¯ на рисунке линейно зависимы, и, как следствие, градиент целевой функции нельзя представить как линейную комбинацию градиентов ограничений.

x¯

Рис. 17.2. Нарушение условий регулярности

17.9. Теоремы Куна—Таккера

693

Один из вариантов обратной теорема Куна — Таккера утверждает, что при вогнутости функций f(·), {gk(·)} выполнение этих условий в допустимом решении x¯ (т. е. точке, удовлетворяющей ограничениям) при некоторых множителях Лагранжа, удовлетворяющих требованиям прямой теоремы, гарантирует, что x¯ является решением задачи.

Теорема 199 (Обратная теорема Куна—Таккера /достаточное условие оптимальности/):

Пусть f(·) — дифференцируемая вогнутая функция, g1(·), . . . , gn(·) — дифференцируемые квазивогнутые функции, множество X выпукло и точка x¯ допустима в задаче (?), причем x¯ int X .

Пусть, кроме того, существуют множители Лагранжа λj > 0, j = 1, . . . , m, такие что при λ0 = 1 выполнены следующие соотношения:

∂L(x¯, λ) = 0, i = 1, . . . , n ∂xi

и

m

X ∂L(x¯, λ) λj = 0.

j=1 ∂λj

Тогда x¯ — решение задачи (?).

Теорему можно очевидным образом переформулировать для задач (??) и (???). Для задачи (???) ограничения в виде равенств могут быть только линейными (это связано с тем, что ограничение в виде равенства, gj(x) = 0, следует представить с помощью двух ограничений в виде неравенств, gj(x) > 0 и −gj(x) > 0, каждое из которых задается квазивогнутой функцией; такое может быть только если ограничение линейное).

В еще одном варианте достаточного условия оптимальности предположение о вогнутости целевой функции заменяется на предположение о квазивогнутости с добавлением условия rf(x¯) 6= 0.

Р. Рокафеллар: Выпуклый анализ, М.: Мир, 1973

Более подробно о дифференциальных свойствах квазивогнутой функции полезности см. A. P. Barten and V. Bohm: Consumer Theory, in Handbook of Mathematical Economics, vol. II, K. J. Arrow and M. D. Intrilligator (ed.), North Holland, 1982 (pp. 403–409), и содержащиеся там ссылки.

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s

Именной указатель

Аллен, Рой, 34

Антонелли Дж.?? G. B. Antonelli, 67 Африат, Сидни, 43

Бентам, Иеремия, 19 Буридан, Иоанн, 6

Госсен, Герман Генрих, 20, 61

Дебре, Жерар, 7, 22, 24 Джевонс, Уильям Стенли, 20

Канеман, Дэниел, 50 Курно, Франсуа Огюстен, 61

Ланкастер, Кельвин Джон, 8

Мак-Кензи, Лайонель, 69

Парето, Вильфредо, 18, 20

Радер, Траут, 24

Самуэльсон, Пол, 69 Самуэльсон,??, 45

Тверски, Амош, 50

Хаутеккер,??, 108 Хикс, Джон, 34, 69

Эджворт, Фрэнсис Исидро, 20 Эрроу,??, 44

694

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s

Предметный указатель

CES . . . . . . . . . . . . . . см. функция с постоянной эластичностью замены

GARP . см. обобщенная аксиома выявленных предпочтений, см. обобщенная аксиома выявленных предпочтений

MRS . . . . . . . . . . . см. предельная норма замены WARP . . . . . . . см. слабая аксиома выявленных

предпочтений

B

Bernoulli, Daniel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231, 245

C

CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

F

Fishburn, Peter C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

J

Jensen, N. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

M

Markowitz, Harry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263, 264

Morgenstern, Oskar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

N

Neumann (von Neumann), John . . . . . . . . . . . . 231

S

Samuelson, Paul A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254, 264

Sharpe, William F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

T

Tobin, James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

А

Акерлова модель . . . . . . . . . . . . 440–442, 448–450

Б

Байеса правило (Bayes rule) . . . . . . . . . . . . . . . 667 Бернулли функция . . . . . . . . . . . . . . 231, 235, 243 Бертрана модель (Bertrand model) . . . . . . . . 533

В

Викри аукцион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

Г

Гровса — Кларка механизм . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Й

Йенсена неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

К

Кларка налог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Кондорсе парадокс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Коуза теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333, 376, 433 Курно модель (Cournot model) . . . . . . . . . . . . 499

Л

Линдаля равновесие (Lindahl equilibrium) 403

М

Майерсона — Саттертуэйта теорема . 432–435, 454–457

Марковица модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Мида теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Н

Неймана — Моргенштерна функция . 231, 235, 237, 243

Неймана — Моргенштерна функция полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Нэша равновесие (Nash equilibrium) . . . . . . . 628

П

Парето-граница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177слабая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Парето-оптимальность . . . . . . 177, 213–215, 671объективная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285, 432субъективная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Парето-улучшение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 343 Пигу правило . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349, 362, 366

Р

Рамсея правило налогообложения . . . . . . . . 323

С

Санкт-Петербургский парадокс . . . . . . . . . . . 245

Ш

Штакельберга модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

Э

Эджворта диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Эрроу — Дебре равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Эрроу — Дебре экономика . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Эрроу — Пратта мера . . . . . . . . . . . . . . . . . 259, 261

695

Предметный указатель

абсолютная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259относительная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A
адвалорный налог (ad valorem tax) . . .	. . . .	310
аддитивность технологического
множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	129
аккордный налог (lump-sum tax) . . . . . . .	. . .	309
аксиома исчерпания Архимеда . . . . . . . . .	. . .	234
актив . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	251
актив Эрроу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	248
альтернатива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	6, 8
антагонистическая игра двух лиц . . . .	641, 651
арбитраж (arbitrage) . . . . . . . . . . . . . . . . .	473, 539
асимметричная информация . . . . . . . . .	378, 432
асимметричность бинарного отношения . . .		. 10
аукцион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. .	624

Б

байесовская игра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658, 665 байесовское равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 безарбитражные цены активов (arbitrage-free

asset prices) . . . . . . . . 301, 302, 304, 305 безбилетник (free-rider) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 безразличия множество . . . . . . . см. множество

безразличия безразличия отношение . . . . . . . см. отношение

безразличия безрисковый эквивалент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

бесконечно повторяющаяся игра (infinitely repeated game) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

бета актива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276, 278 бинарное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 9–12 благо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–8, 59 благосостояния индикатор (welfare

function) . . . . . . . . . . . . . . . 443, 465, 493 буриданов осел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 бюджетная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 бюджетное множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59–60 бюджетное ограничение . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 63 бюджетное ограничение (budget

constraint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 бюджетный треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

В

ведомый в олигополии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 верхнее лебеговское множество . 17–18, 23, 31,

69, 106–107 взаимная задача?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

взаимозаменяемость благ . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 внешние влияния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 вогнутость функции полезности . . . . . . . . . . . . 31 вознаграждение за риск . . . . . . . . . . . . . . 245, 259 восстановление предпочтений . . . . . . . . . . . . . 112 восстановление технологического

множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 выбор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–7

	696
выигрыш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	230
выигрыш (payoff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	620
выпуклая комбинация лотерей
определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	233
свойства операции . . . . . . . . . . . . . . . . .	236

выпуклость предпочтений . . . 31–35, 37–38, 62, 111

выпуклость технологического множества . 129

выручка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

выявленно эквивалентные альтернативы . . 42 выявленного предпочтения отношение

нестрогое . . . . . . . . . . . . . . .	42, 44, 105–106
строгое . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 41, 44, 106
выявленные предпочтения . . . .	. . 41–42, 44–46,
105–106, 118
в производстве . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . 142
Г
гарантированный эквивалент .	. . . . . . . . . . . . 245
гарантия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . 442
Гиффена товар . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . 37
глобальное насыщение . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . 30
голосование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . 412
гомотетичность предпочтений	35–36, 64, 68, 75
Гормана форма для непрямой функции
полезности . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . 103
граница Парето
задача поиска . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . 177

Д

двусторонняя монополия . . . . . . . . 371, 433, 435 двухкомпонентный тариф (two-part

tariff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476, 486 декартов квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 дерево игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 диверсификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 динамическая игра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 дисконтирующий множитель (discount

factor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 дискриминация ценовая (price

discrimination) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471второго типа (second-degree) . . . . . . . 479 двухкомпонентный тариф . . . . . . . . . . 486 пакетная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 условие самовыявления . . . . . . . . 480, 481 условие участия . . . . . . . . . . . . . . . 480, 486идеальная (ideal discrimination) . . . . 473 общая нелинейная схема . . . . . . . . . . . 478

схема ’не хочешь [dash/] не бери’ (take-it-ot-leave-it) . . . . . . . . . . . . . . . 476

условие участия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473нелинейное ценообразование (nonlinear

pricing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475первого типа (first-degree) . . . . . . . . . . 472третьего типа (third-degree) . . . . . . . . 491три типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Предметный указатель

дифференцированные блага (differentiated products) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

добровольное финансирование общественных благ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

добровольность участия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 долевое финансирование . . . . . . . . . . . . . 410, 417 доминирование

слабое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623строгое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 доминирование по Парето . . . . . . . . . . . . 177, 671строгое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

доминирующая стратегия (dominant

strategy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420, 623 допустимое состояние экономики . . . . . . . . . 158 допустимость бездеятельности . . . . . . . . . . . . 129 досуг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 дотации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 доход потребителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59–60 дуополия (duopoly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

Курно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500Штакельберга (Stackelberg duopoly) 518

З

задача инвестора . . . . . . . . . . . . 252, 253, 261, 266 задача потребителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 160 задача производителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 закон Вальраса . . . . . . . . . . . . . . . 62, 164, 168, 406 закон спроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 92–94

при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому . . . . . . . . . . . . . 89–90, 120при компенсирующем изменении дохода по Хиксу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

И

игра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618Акерлова модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Ауманна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 бесконечно повторяющаяся . . . . . . . . . 674 повторяющаяся . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673Викри аукцион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

антагонистическая двух лиц . . 641, 651

аукцион с заявками в запечатанных

конвертах . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . .	. . . 662
бесконечно повторяющаяся (infinitely
repeated game) . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . 674
в развернутой форме . . .	. . . . . . . . .	. . . 643
вахтер . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . 661
выбор компьютера . . .	619, 622, 626, 660
двух лиц с нулевой суммой . . . . .		. . . 641
дилемма заключенных .	. . . . . . . . .	. . . 672
динамическая . . . . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . 642
динамическая байесовская . . . . . .		. . . 665
динамическая с неполной информацией
(dynamic game of incomplete
information) . . . . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . 665
инспекция . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . .	631, 663
конечная (finite) . . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . 632

697

международная торговля . . . . . . . . . . 630многоэтапная с наблюдаемыми

действиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654набеги на банки (bank runs) . . . . . . . . 654нормальная форма игры . . . . . . . . . . . 620парламентское голосование . . . . . . . . 624пешеход-автомобилист . . . . . . . . . . . . . 620повторяющаяся (repeated game) . . . 672рэкет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644с идеальной памятью (game with perfect

recall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652с полной информацией . . . . . . . . . . . . . 619с почти совершенной информацией

(game of almost perfect

information) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654с совершенной информацией (game of

perfect information) . . . . . . . . . 643, 652статическая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619статическая байесовская . . . . . . . . . . . 658статическая с неполной информацией

(static game of incomplete

information) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658террорист . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665торг (barganing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

игрок (player) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620, 658 игры

с несовершенной информацией . . . . . 651 избыточного спроса отображение . . . . . . . . . 167 избыточного спроса функция . . . . . . . . . . . . . 167 избыточность отрицательных экстерналий 335 излишек

потребителя (consumer’s surplus) . . 222, 476

совокупный (gross surplus) . . . . . . . . . 493 изокванта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 инвестирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251, 261 индекс Ласпейреса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 индекс Лернера (Lerner index) . . . . . . . . . . . . 462 индекс Пааше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 индикатор благосостояния (welfare

function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 интергрируемость спроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 информационная рента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 информационное множество (information

set) . . . . . . . . . . . 651, 652, 654, 666, 667 иррефлексивность бинарного отношения . . . 10 исход игры (outcome) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

К

кардинализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 картель (cartel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526, 529 квазивогнутость функции полезности . . . . . . 31 квазилинейная сепарабельная экономика . 458 квазилинейная функция полезности . . . 36, 112 квазилинейная функция полезности

(quasi-linear utility function) . . . . . 211 квазилинейная экономика . . . . . . . . . . . . 363, 458

Предметный указатель

задача потребителя (consumer‘s problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

индикатор благосостояния (welfare function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

квазилинейные предпочтения (quasi-linear preferences) . . . . 211, 219

квазилинейные сепарабельные предпочтения (quasi-linear separable preferences) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

квазилинейность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 квазилинейность предпочтений . . . . 36–37, 112 квазилинейные предпочтения . . . . . . . . . . . . . . 95 квазилинейные сепарабельные

предпочтения . . . . . . . . . . . . . . . 113, 114 квазиравновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 квота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345, 369 классические рынки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 коллективное благо (collective good) . . . . . . 384 компенсирующая вариация . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 комплементарность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 комплементарность благ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Кондорсе парадокс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 конечная игра (finite game) . . . . . . . . . . . . . . . 632 консенсус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404, 410 контингентное благо . . . . . . . . . . . . . 242, 248, 283 кооператив . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 кривая безразличия . . . . . . . . . . . см. множество

безразличиятолстая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

курильщик и некурящий . . . . . . . . . . . . . 359, 366

Л

лексикографические предпочтения . 61–62, 78, 124

лексикографическое упорядочение . 13, 22, 24, 29

лемма Хотеллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 лемма Шепарда . . . . . . . . . 80–81, 83, 84, 97, 115 лемма Шепарда, случай производителя . . . 151 лидер в олигополии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 лимон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440, 441 локальная ненасыщаемость

предпочтений . . . . . . . . . . . . . . 29–31, 62 локальная эластичность масштаба

производственной функции . . . . . 132 лотерея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232, 233, 242

М

малоценное благо . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 100, 102 манипулируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 маршаллианский спрос . . . . . . . . . . . . . 61, 69, 75 матрица Слуцкого . . . . . . . см. матрица замены матрица замены . . . . . . . . . . 84, 92, 116, 120, 121 медианный потребитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 множества допустимых потребительских

наборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 множество безразличия . . . . . . . . . . . . . . . . . 17–19

698

множество всех простых лотерей . . . . . . . . . 234 множество допустимых альтернатив . . . . . . 6, 8 множество допустимых наборов . . . . . . . . . . 8–9 множество производственных

возможностей . . . . . 165, 167, 187, 202 множество требуемых затрат

восстановление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

модель

общего равновесия (general equilibrium model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

монополия (monopoly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 монотонность предпочтений . 25–26, 29–31, 38,

111

моральный риск (moral hazard) . . . . . . . . . . . 442

Н
налог
Кларка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 419
налог Пигу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	366, 369
налог с единицы товара (unit tax) . . . .	. . . . 310
налог со стоимости товара (ad valorem
tax) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 310
налоги Пигу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 349
налоги на экстерналии . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 347
насыщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 30
начальные запасы благ . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 157
начальный запас . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 59
не хочешь, не бери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 373
не хочешь, не бери (take it or leave it)	. . . . 436
неблагоприятный отбор . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 440
невозможность арбитража . . . . . . . . . . . . .	. . . 294
недостаточность положительных
экстерналий . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 335
независимость от посторонних
альтернатив . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 234
неисключаемость (non-excludability) . . .	. . . 384
нейтральность к риску . . . . . . . . . . . . . . .	243, 245
неконкурентность (non-rivalness) . . . . . . .	. . . 384
необратимость технологического
множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 129

неоклассические предпочтения . . . . . 13–18, 21,

44–46, 49, 61, 105
неполные предпочтения . . . . . . . . . . . . .	45, 51–53

непрерывность предпочтений 22–24, 27, 29, 54,

111
неприятие риска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 243
непротиворечивые предпочтения . . . .	45, 51–53

непрямая денежная функция полезности . . 94 непрямая функция полезности 66–68, 94, 114,

120
неравенства Африата . . . . . . . . . . . . . . . .	. 109–110
нестрогое отношение предпочтения	13–14, 16,
20–21, 51, 53

нетранзитивные предпочтения . . 49–50, 53–55, 79

Предметный указатель

неустойчивость картеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 нижнее лебеговское множество . . . . . . . . . 17, 23 нормальная форма игры (normal form) . . . 620 нормальное благо . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87–88, 102 носитель лотереи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 носитель случайной величины . . . . . . . . . . . . 232

О

обмен рисками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 обобщенная аксиома выявленных

предпочтений . . . . . . . . 42, 52, 108–109 обратная индукция (backward induction) . 642,

654, 666, 668 общее равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

существование . . . . . . . . . . . . . . . . . 171, 197 в экономике Эрроу — Дебре . . . . . . . 201 в экономике обмена . . . . . . . . . . . . 172, 201

существование квазиравновесия в экономике Эрроу — Дебре . . . . . . . 202

общеизвестная информация (common knowledge) . . . . . . . . . 626, 627, 642, 654

общественное благо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 общественное благо (public good) . . . . . . . . . 384 однопиковые предпочтения . . . . . . . . . . . . . . . 413 однородная функция . . . . . . . . . . . . . . . 36, 62, 681 однородные экстерналии . . . . . . . . . . . . . 360, 379 ожидаемая полезность . . . . . . . . . . . . . . . 231, 235 ожидаемый выигрыш (expected payoff) . . . 621,

632, 659, 660

олигополия (oligopoly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498дуополия Штакельберга . . . . . . . . . . . . 518картель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526модель Бертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533модель Курно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499с ценовым лидерством (price

leadership) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 оптимальность по Парето . . . . . . . . 213–215, 671 оптимум второго ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 ординализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 отдача от масштаба

возрастающая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132невозрастающая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128неубывающая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128постоянная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 132убывающая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

отклик (response) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 отношение безразличия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 отношение к риску . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243, 244 отношение правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 отрицательная транзитивность бинарного

отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 отсутствие рога изобилия . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

П

парадокс Бертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 пари . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 паушальный налог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

699

переговорная сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 переговорное множество . . . . . . . . . . . . . . 375, 527 поведенческая стратегия (behavior

strategy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 повторяющаяся игра (repeated game) . . . . . 672 подыгра (subgame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648, 653собственная (proper) . . . . . . . . . . . . . . . 648 полезность . . . . . . . . . . 19, см. также функция

полезности, 20 полнота бинарного отношения . . . . . . . . . . . . . . 10

полнота рынков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 полные предпочтения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53–54 полубаланс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158, 164 полунепрепрерывность сверху . . . . . . . . . . . . . 682 полунепрепрерывность снизу . . . . . . . . . . . . . . 682 портфель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 посредничество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442, 453 потребитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 потребительский излишек . . . . . . . . 97, 113, 114 потребительский набор . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 59 правило выбора . . . . . . 6–7, 18–19, 46, 47, 52–54

стохастическое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 предельная норма замены . . . . . . . . . . . 34–35, 65 предельный продукт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 предпочтения . . . . . . . . . 6–7, 9, 13, 49, 51, 53, 54неоклассические . . см. неоклассические

предпочтениястохастические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

предпочтения на лотереяхлинейная функция полезности . . . . . 236

наихудшая и наилучшая простая лотерея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

существование и единственность линейной функции полезности . . 240

существование функции полезности 239

предыстория игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 премия за риск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255, 276 прибыль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 151, 161 принятие решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 принятие решений в условиях риска . . . . . . 230 производитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 производственная функция . . . . . . . . . . . . . . . 130

наследование свойств технологического множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

производственная функция (production function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

неявная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132, 158 пропорциональное рационирование

(proportional-rationing rule) . . . . . . 538 простая лотерея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Р

равновесиеБертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

Вальраса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Курно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499Линдаля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

Предметный указатель

Нэша (Nash equilibrium) . . . . . . .	628, 629
Нэша — Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 660
Штакельберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 518
байесовское . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 660
в доминирующих стратегиях . . . .	. . . 623
монополия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 459
общее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 165
при голосовании . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 413
с добровольным финансированием
общественных благ . . . . . . . . . . .	. . . 391
с долевым финансированием . . . .	. . . 417
совершенное в подыграх . . . . . . . .	. . . 649

развернутая форма игры (extensive form) 643

разрушение рынка .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 442
рандомизирование стратегий . . . . . . . . .		632, 656
расходов функция .	. . . . см. функция расходов
рационализация . . .	. . . . 40–47, 57, 107–109, 123
рациональность . . .	6–7, 14, 21, 42, 45, 123, 618,
623, 626–628, 642, 648, 659, 666
неполная . . . . .	. . . . . . 16, 20–21, 45, 49–55

репрезентативный потребитель (representative

consumer) . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	. . . 227
репрезентативный производитель . . . . .		. . . . 154
рефлексивность бинарного отношения		. . . . . 10
рискофил . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . .	243, 245
рискофоб . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . .	243, 245
рынки с асимметричной информацией		. . . . 432
рынки экстерналий . . . . .	354, 358, 360, 366, 370
рыночный портфель . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . 277
С
самовыявления условие .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . 435
самовыявления условие (self-selection
constraint) . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	480, 481
свобода расходования . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . 127
сговор (collusion) . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . 526
седловая точка . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . .	641, 651
сепарабельность предпочтений . . . . . . . . .		37–38
сигнализирование . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . 442
сильно квазивогнутая функция . . . . . . . .		. . . 125
симметричность бинарного отношения .		. . . . 10
ситуация выбора . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. 6, 18
слабая аксиома выявленных
предпочтений . .	45–46, 53, 63–64, 90,
120, 125
слияние . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . 372
случайные ходы природы (random moves by
nature) . . . . . . . .	620, 644, 658, 664, 665
смешанная стратегия (mixed strategy)		632, 656
имитация с помощью байесовского
равновесия . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . 663
собственная подыгра (proper subgame) .		. . . 648
совершенная конкуренция (perfect
competition) . . . .	. . . . . . . . . . . . .	507, 534
совершенное байесовское равновесие (perfect
Bayesian equilibrium) . . . . . . . . . .		. . 666

		700
совершенное в подыграх равновесие (subgame
perfect equilibrium) . . . . . . . . . .	. . . .	649
совершенные рынки (perfect markets) . . . . .		157
состояние мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	230, 283
состояние экономики . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	158
социальная справедливость . . . . . . . . . .	. . . . .	309
спрос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 61, 69
эластичность . . . . . . . . . . . . . . . . . .	461, 492
статус-кво . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	373
стохастические предпочтения . . . . . . . .	. . . . .	. 56
стохастическое доминирование . . . . . . .	. . . . .	554
стохастическое правило выбора . . . . . .	. . . . .	. 56
стратегия (strategy) . . . . . . . . . . . . . . . . . .	619, 620
в динамических играх . . . . . . . . . .	. . . .	659
в играх с несовершенной
информацией . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	653
в игре в развернутой форме с
совершенной информацией . .	. . . .	646
в статических байесовских играх . .		659
доминирующая (dominant) . . . . .	. . . .	623
поведенческая (behavior strategy) . .		656
смешанная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	632, 656
строго доминируемая (strictly dominated
strategy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	626
строго доминирующая . . . . . . . . .	. . . .	622
чистая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	632
страхование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	249
строгая выпуклость предпочтений . . .	. . . . . .	31
строгая монотонность предпочтений	26, 29–31
строго доминируемая стратегия (strictly
dominated strategy) . . . . . . . . . .	. . . .	626
строго доминирующая стратегия . . . . .	. . . .	622
строгое доминирование по Парето . . .	. . . . .	178
строгое отношение предпочтения . . .	13–14, 16
существование квазиравновесия в экономике
Эрроу — Дебре . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	202
существование равновесия . . . . . . . . . . . .	171, 197
в экономике Эрроу — Дебре . . . .	. . . .	201
в экономике обмена . . . . . . . . . . .	172, 201
существование функции полезности . .	. . 20–27,
54–55
схема рационирования (rationing scheme)		538

Т

теоремаПратта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Дебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26о взаимных фондах (Mutual Fund

Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278о диверсификации . . . . . . . . 254, 272, 277о разделении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

теорема Африата . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 109–111 теорема Бержа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 теорема Брауэра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 теорема Какутани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 теорема Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 теорема Юнга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

Предметный указатель

теорема благосостояниявторая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185, 186, 406

первая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 теорема взаимности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73–74 теорема двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . 73–74 теорема о неэффективности

экономика с экстерналиями . . . . . . . . 339 теорема об огибающей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 теорема отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 технологическое множество . . . . . . . . . . . . . . . 127

представимость производственной функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 аддитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 допустимость бездеятельности . . . . . 129 замкнутость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 необратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 непустота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 отдача от масштаба . . . . . . . . . . . . . . . . 128 отсутствие рога изобилия . . . . . . . . . . 127 свобода расходования . . . . . . . . . . . . . . 127

тип игрока (type) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 товар Гиффена . . . . . . . . . . . . 88, 89, 92, 100, 102 тождество Роя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 86, 114 «толстая» кривая безразличия . . . . . . . . . 30, 75 торг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373, 433, 436 торг (barganing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 торговля квотами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 точка угрозы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375, 527 трагедия общин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 транзитивность бинарного отношения . . . . . 10 трансакционные издержки . . . . . . . . . . . . . . . . 377 треугольник Харбергера (Harberger

triangle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 триггерная стратегия (trigger strategy) . . . 674 труд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

У

униформные налоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 уравнение Самуэльсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 уравнение Слуцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 93 усиленная аксиома выявленных

предпочтений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 условие совместимости стимулов . . . . . . . . . . 435 условие участия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 условия самовыявления (self-selection

conditions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 условно-случайное благо . . . . . . . . . . . . . 242, 248 участия условие (participation constraint) 473,

480, 486

Ф
фиаско рынка (market failures) . . . . . . . .	. . . . 157
формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 681
функция
квазивогнутая . . . . . . . . . . . . . . . .	679, 680

701

квазиквазивогнутая . . . . . . . . . . . . . . . 680 функция выбора . . . . . . . . . см. правило выбора функция издержек

определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 функция издержек (cost function) . . . . . . . . . 211 функция полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19–20Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . 231, 235, 243Неймана — Моргенштерна . . . . 231, 234,

235, 237, 243, 285обобщенная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 79

существование . . . . . см. существование функции полезности

элементарная . . . . . . . . . . . . . 231, 235, 243 функция предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

функция прибылисвойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

функция расходов . . . . . . . . . . . . . 71–72, 115, 121 функция с постоянной эластичностью

замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 функция условного спроса

определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Х

хиксианский спрос . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69–70, 75

Ц

цена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ценовая дискриминация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 ценовая дискриминация (price

discrimination) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 ценовая конкуренция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 ценовое лидерство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 ценообразование по предельным издержкам

(marginal cost pricing) . . . . . . . 511, 533 ценополучатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 458

Ч

частное равновесие (partial equilibrium) . . 211 чистая стратегия (pure strategy) . . . . . . . . . . 632 чистые потери благосостояния (deadweight

loss) . . . . . . . . . . . . . . . 219, 467, 484, 489 чистый выпуск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Э
эквивалентная вариация . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	95
эквивалентности отношение . . см. отношение
безразличия
экономика Эрроу — Дебре
существование квазиравновесия . . .	202
квазиравновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	202
определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	164
экономика обмена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	159
равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	163
определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	163

Предметный указатель

702

существование равновесия . . . . 172, 201 экономика с риском . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 экономика с трансфертами . . . . . . . . . . . . . . . . 165 экстерналии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157, 332 эластичность (elasticity) . . . . . . . . . . . . . . 461, 492 эластичность спроса по доходу . . . . . . . . . . . . . 85 эластичность спроса по цене . . . . . . . . . . . . . . . 85 Энгеля кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 64, 87 эффект дохода . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 94, 99, 100 эффект замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 94, 100 эффективная граница технологического

множества . . . . . . . . . 129, 130, 134, 140 эффективная технология . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 эффективное рационирование

(efficient-rationing rule) . . . . . . . . . . 539 эффективный луч . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277