5.3. Существование общего равновесия

175

Может ли E(·) быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?

/ 265. Пусть экономика состоит из двух потребителей, и в ней обращаются два товара. Функции полезности потребителей имеют вид

u1(x1, y1) = xα1 y11−α и u2(x2, y2) = xβ2 y21−β.

Потребители обладают начальными запасами в размере ω1 = (a, b) и ω2 = (c, d). Найдите равновесие как функцию параметров α, β , a, b, c, d.

/ 266. В экономике обмена функции полезности потребителей имеют вид

l	l
ui(xi) = xikαik , i = 1, . . . , m − 1, um(xm) =	xmk.
Y	X
k=1	k=1

Охарактеризуйте равновесие в этой экономике.

/ 267. В экономике обмена непрямые функции полезности потребителей имеют вид

l

X

vi(p, βi) = ln βi − αik ln pk, i = 1, . . . , m.

k=1

Начальные запасы у всех потребителей одинаковы и положительны. Найдите равновесие в этой экономике.

/ 268. Предположим, что в экономике обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.

(A)Гарантирует ли выпуклость предпочтений тот факт, что равновесные распределения (если существуют) всегда совпадают с начальными запасами?

(B)Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений тот факт, что равновесные распределения (если существуют) всегда совпадают с начальными запасами?

Аргументируйте свой ответ.

/269. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными (но, вообще говоря, не строго монотонными) предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.

/270. Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и положительность начальных запасов не гарантирует, что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий контрпример.

/271. Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и выпуклость предпочтений не гарантирует, что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий контрпример.

5.3Существование общего равновесия

Одним из наиболее важных вопросов, изучаемых при рассмотрении моделей общего равновесия, является вопрос о том, существует ли в данной экономике равновесие (равновесия). Ведь если равновесие не существует, то анализ его становится бессмысленным. В этом параграфе мы изложим один из стандартных способов доказательства существования равновесия, делая упор на экономиках обмена. Альтернативные способы доказательства существования равновесия, несколько более сложные, но опирающиеся на более слабые предположения, приведены в приложении к главе.

Типичное доказательство существования равновесия основано на демонстрации того факта, что некоторое (подходящим образом построенное) отображение имеет неподвижную точку, и эта неподвижная точка соответствует состоянию равновесия. При этом обычно используется

5.3. Существование общего равновесия

176

теорема Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения некоторого компактного выпуклого множества (обычно, множества цен) в себя, или ее непосредственное обобщение — теорема Какутани о неподвижной точке точечно-множественного выпуклозначного отображения компактного выпуклого множества в себя.

Внаиболее простой версии доказательства построение такого отображения опирается на функцию (отображение) избыточного спроса E(p), то есть превышение спроса над предложением. (Формальное определение избыточного спроса для различных типов экономик приведено выше.) Рассматривается вопрос о существовании вектора цен p¯ , такого что 0 E(p¯) (E(p¯) = 0, если избыточный спрос является функцией), то есть такого вектора цен, который уравновешивает спрос и предложение на всех рынках.

Доказательство существования равновесия проводится в два этапа. Сначала доказывается, что те или иные свойства избыточного спроса гарантируют существование равновесия. Далее, для экономик различных типов указываются условия (свойства предпочтений и т. д.), которые гарантируют, что избыточный спрос для этих моделей облагает данными свойствами.

Вэтом параграфе мы рассмотрим условия существования равновесия в экономике обмена,

вкоторой решение задачи каждого потребителя существует и единственно при любом положительном векторе цен благ, и, следовательно, E(p) является функцией, определенной на множестве положительных цен.

Поскольку функции избыточного спроса положительно однородны нулевой степени, то если p¯ — равновесный вектор цен, то λp¯ — также равновесный вектор цен при любом λ > 0 и наоборот. Т. е. равновесный вектор цен определяется с точностью до нормировки цен. Ниже будут описаны ситуации, в которых гарантируется существование равновесия с положительными ценами. Поэтому равновесный вектор цен будем искать в следующем множестве цен (симплексе цен):

Sl−1 = p > 0	kX	pk = 1 .
	K

При этом каждому вектору цен p из Rl+ (за исключением нулевого вектора) можно однозначно сопоставить вектор λp из Sl−1 при некотором λ > 0. Этот способ нормировки цен удобен тем, что множество Sl−1 компактно и выпукло (что, как мы увидим ниже, позволяет непосредственно использовать теорему Брауэра).

Следующее утверждение носит вспомогательный характер и используется в дальнейшем для доказательства существования наиболее простого варианта теоремы существования равновесия в модели обмена. Оно указывает свойства функции избыточного спроса E(·), которые гарантируют существование вектора цен, при котором этот избыточный спрос равен является неположительным, т. е. спрос не превышает предложение.

Теорема 63:

Предположим, что функция избыточного спроса E(·) является непрерывной на множестве цен p Rl+ , p 6= 0, положительно однородна нулевой степени и удовлетворяет закону Вальраса, т. е. pE(p) = 0.

Тогда существует вектор цен p¯ Rl+ , p¯ 6= 0, такой что E(p¯) 6 0. При этом если p¯ > 0, то E(p¯) = 0.

Доказательство: Определим на множестве Sl−1 следующую систему функций:

pk + max{0, Ek(p)}

gk(p) = 1 + Ps K max{0, Es(p)}, k K.

Функция g(·) удовлетворяет всем условиям теоремы Брауэра: она отображает компактное выпуклое множество Sl−1 в себя по построению и является непрерывной, так как состоит

5.3. Существование общего равновесия

177

из операций, сохраняющих непрерывность. Поэтому существует вектор цен p¯ , являющийся неподвижной точкой функции g(·):

		g(p¯) = p¯,
т. е.		p¯k + max{0, Ek(p¯)}
p¯k = gk(p¯) =					k		K.
		1 + Ps K max{0, Es(p¯)}
Преобразуя это выражение, получим
p¯k	max{0, Es(p¯)} = max{0, Ek(p¯)} k K.
K
sX
Умножим каждое из этих равенств на Ek(p¯) и сложим:
p¯kEk(p¯)	max{0, Es(p¯)} =		Ek(p¯) max{0, Ek(p¯)}.
K	s K	k K
kX	X	X

В соответствии с законом Вальраса первый сомножитель левой части данного соотношения равен нулю, поэтому

X

Ek(p¯) max{0, Ek(p¯)} = 0.

k K

Величина Ek(p¯) max{0, Ek(p¯)} равна либо 0, либо (Ek(p¯))2 . Поскольку каждое из слагаемых неотрицательно, то сумма может быть равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю. Отсюда следует, что Ek(p¯) 6 0 k K .

Правило пересчета структуры цен, используемое в приведенном доказательстве, состоящее в том, что цены p заменяются на цены g(p), имитирует возможную реакцию органа, ответственного за ценообразование, на отклонения от равновесия на рынках благ. В соответствии с ним цена дефицитного блага увеличивается на величину, пропорциональную дефициту. Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы новый вектор цен был элементом множества Sl−1 .

Рассмотрим теперь, какие условия на предпочтения гарантируют нам выполнение предположений вышеприведенного утверждения. Предположим, что Xi = Rl+ . Тогда строгая выпуклость и непрерывность предпочтений обеспечивает существование и единственность решения задачи потребителя, а также непрерывность функций избыточного спроса по крайней мере на множестве строго положительных цен (p Rl++ ). Локальная ненасыщаемость предпочтений гарантирует выполнение закона Вальраса (pE(p) = 0). Таким образом, обычные предположения относительно предпочтений обеспечивают требуемые (для существования равновесного вектора цен) свойства избыточного спроса, правда не на всем множестве цен p Rl+ , p 6= 0, а только на его подмножестве - векторах положительных цен, тогда как в доказательстве утверждения требуется выполнение аналогичных свойств на множестве всех неотрицательных цен. Более того, задачи потребителей могут не иметь решения если цены некоторых благ равны нулю. Это значит, что при таких ценах функция избыточного спроса не определена.

Описанный ниже прием позволяет в ряде случаев обойти это затруднение путем модификации избыточного спроса таким образом, чтобы

•модифицированный спрос был определен для всех (неотрицательных) цен;

•удовлетворял условиям утверждения;

•совпадал на множестве векторов равновесных цен с фактическим избыточным спросом.

Таким образом этот прием позволяет установить простейший вариант теоремы существования равновесия в модели обмена.

5.3. Существование общего равновесия

178

Теорема 64:

Предположим, что в экономике обмена Xi = Rl+ i, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы всех потребителей положительны (ωi > 0 i). Предположим также, что существует потребитель, предпочтения которого строго монотонны. Тогда существует равновесие, такое что p Rl++ .

Доказательство: Модифицируем задачу потребителя, введя дополнительно к бюджетному ограничению количественное ограничение (квоту на потребление) по каждому продукту следующего типа:

xik 6 ωΣk + ε, i I, k K.

где ωΣk — совокупные запасы благ в экономике, ε — произвольная положительная константа. Модифицированное таким образом бюджетное множество каждого потребителя оказывается компактным при любом векторе цен p Rl+ (с учетом того, что Xi = Rl+ ), и поэтому в случае непрерывных предпочтений всегда существует наиболее предпочитаемый потребительский набор. В случае, когда предпочтения строго выпуклы, этот набор единственный, и таким образом, оказываются определенными модифицированные функции спроса xi (p) и, следовательно, модифицированная функция избыточного спроса E (·). При этом функция E (·)

оказывается непрерывной.

Непрерывность функции E (·) на p Rl+\0 доказывается способом, аналогичным доказательству непрерывности функции спроса на множестве цен p Rl++ (см. главу, посвященную поведению потребителя). При этом используется то, что предпочтения потребителей непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы потребителей строго положительны (ωi > 0).

Тогда Теорема 63 гарантирует существование вектора цен p¯ , при котором выполняется

соотношение

E (p¯) 6 0.

Покажем теперь, что для любого вектора цен p¯ , такого что E (p¯) 6 0 определен избыточный спрос исходной задачи E(p¯), и выполнено соотношение E (p¯) = E(p¯).

Пусть E (p¯) 6 0. Тогда Pi I xi (p¯) 6 Pi I ωi = ωΣ . Отсюда следует, что

xik(p¯) 6 ωΣk − X xsk(p¯) 6 ωΣk < ωΣk + ε.

s6=i

Это означает с учетом выпуклости предпочтений, что дополнительно введенные нами ограничения несущественны, т. е. для всех потребителей выполнено xi (p¯) = xi(p¯). (Если это не так, и в бюджетном множестве потребителя i найдется набор x0i , более предпочтительный, чем xi (p¯), то все наборы на внутренней части отрезка, соединяющего x0i и xi(p¯) также более предпочтительны, чем xi (p¯). Но по крайней мере часть данного отрезка принадлежит модифицированному бюджетному множеству, а это противоречит определению xi (p¯).) Таким образом, E (p¯) = E(p¯)6.

Поскольку по предположению теоремы существует потребитель, предпочтения которого строго монотонны, то p¯ Rl++ , т. е. цена любого блага окажется положительной. Действительно, предположение о том, что существует благо k, цена которого равна нулю, противоречит

тому факту, что xi (p¯) является выбором такого потребителя при ценах p¯ .
По Теореме 63 если p¯ > 0, то E (p¯) = 0. Следовательно, E(p¯) = 0.

Заметим, что мы, вообще говоря, не можем использовать прием, состоящий во введении количественных ограничений, в ситуации, когда начальные запасы хотя бы одного из потребителей не содержат хотя бы одного блага. Как показывает приведенный ниже пример, в этом случае функция избыточного спроса может не быть непрерывной на границе множества цен.

6Легко показать, что, наоборот, если E(p¯) 6 0, то E (p¯) = E(p¯). Более того, равенство E(p¯) = 0 влечет E (p¯) = 0. Это означает, что вектор цен p¯ является равновесным тогда и только тогда, когда он является равновесным для модифицированной функции избыточного спроса E (·).

5.3. Существование общего равновесия

179

Пример 29 ((Контрпример к теореме в случае нулевых начальных запасов одного из благ)

Пусть в экономике обмена есть только два блага (l = 2), функции полезности любого потребителя i имеют вид ui(xi1, xi2) = √xi1 + √xi2,

а начальные запасы равны ωi = (0, 1). Очевидно, что предпочтения рассматриваемых потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы.

Задача потребителя состоит в том, чтобы максимизировать ui(xi1, xi2) при следующих ограничениях:

p1xi1 + p2xi2 6 p2, xi1 > 0, xi2 > 0.

При p1, p2 6= 0 спрос потребителя на второе благо равен

p1 xi2(p1, p2) = p1 + p2 .

Таким образом, xi2(p1, p2) → 1, когда p2 → 0. Но если p2 = 0, то полезность можно сделать неограниченно большой, увеличивая xi2 (спрос на второе благо бесконечен). Таким образом, спрос на 2-е благо не является непрерывным при p2 = 0.

Покажем, что в этой экономике равновесие не существует. При p1, p2 6= 0 спрос потребителя на первое благо равен

p2

xi1(p1, p2) = 2 , p1(p1 + p2)

т. е. положителен. Значит, при положительных ценах равновесия быть не может, так как в экономике первое благо отсутствует. Если же цена на одно из благ равна нулю, то соответствующий спрос бесконечен, и равновесия при этих ценах тоже нет.

Заметим, что модифицированная функция избыточного спроса не является непрерывной. При p1, p2 6= 0 спрос потребителя такой же, как в исходной модели, и xi2(p1, p2) → 1 при p2 → 0. Но при p2 = 0, спрос на второе благо равен 1 + ε. Таким образом, спрос на второе благо не является непрерывным при p2 = 0, и приведенное доказательство существования «не

работает».

4

Если в приведенном примере дать хотя бы одному из потребителей ненулевой запас первого блага, то хотя избыточный спрос по прежнему не будет непрерывным, но равновесие существует. (Доказательство этого оставляем читателю в качестве упражнения.) Таким образом, вышеприведенные условия на избыточный спрос являются довольно ограничительными.

Вприложении к главе приводится другой вариант теоремы существования (Теоремы 70

и72), с более слабыми условиями на избыточный спрос. Доказательство этого утверждения состоит в указании правила процесса ценообразования (отличного от описанного выше), ими-

тирующего поведение ценообразующего органа, которое порождает отображение множества цен Sl−1 в себя, удовлетворяющее теореме Какутани (о существовании неподвижной точки

выпуклозначного замкнутого отображения компактного выпуклого множества в себя). Рассмотрим также вопрос о том, как использовать те же приемы и полученные результаты

для экономики с производством. Чтобы избыточный спрос являлся непрерывной функцией, требуется сделать определенные предположения относительно технологий. Выше мы установили условия, при которых совокупный спрос потребителя является непрерывной функцией. Если, в дополнение к этим условиям, технологическое множество каждого производителя является строго выпуклым, то как предложение, так и совокупный избыточный спрос также будут непрерывными функциями. В случае, когда технологические множества представляются производственными функциями, можно предположить строгую вогнутость последних. Характерным примером этого типа функций является функция Кобба — Дугласа.