3.5.

Задачи к главе

130

Предположим теперь, что существует некоторая функция спроса x(·, ·), такая что

xi(p, Ri) =

x(p,

R

)

для всех

p, R

, . . . , R

n . Рассмотрим некоторого потребителя

i

и

распределение дохо-

R

i

1

j = i

P

дов

Pi

, и

j

, при

6

. Тогда

i

, откуда следует, что все потребители

одинаковы и имеют одни и те же предпочтения. Для того, что бы показать, что спрос x(·, ·), получен исходя из гомотетичных предпочтений, покажем, что функция x(·, ·) линейна по R. Это, например, следует из того факта, что x(p, R1 + R2) = x(p, R1) + x(p, R2).

Если отказаться от требования, что суммарный спрос всюду не зависит от распределения дохода, а требовать это свойство только локально, то класс предпочтений позволяющих локальное агрегирование расширится.

Одним из важных классов функций полезности позволяющих локальное агрегирование является класс квазилинейных функций полезности. Подробнее этот вопрос мы рассмотрим при рассмотрении квазилинейной экономики.

3.5Задачи к главе

/ 177. Покажите, что невырожденность матрицы

!

H˜ =	H(x) ru(x)
	ru(x)| 0,

где x = x(p, R), H — матрица вторых производных функции полезности, является (наряду с другими предположениями) достаточным условием дифференцируемости функции спроса. (См. Теорему 37.)

/178. Восполните доказательство Теоремы 37, доказав, что при сделанных предположениях функция расходов и функция хиксианского спроса являются непрерывно дифференцируемыми по x.

/179. Является ли дифференцируемой на положительном ортанте функция спроса потребителя с функцией полезности u(x) = x31x2 + x1x32 . (Данный пример показывает, что для дифференцируемости спроса недостаточно строгой квазивогнутости, дважды непрерывно диффе-

ренцируемости и строгой монотонности.)

/180. Усильте Теорему 37, заменив условие отрицательной определенности матрицы Гессе функции полезности H(·) на сильную квазивогнутость функции полезности. Квазивогнутая

функция u(x) называется сильно квазивогнутой, если для каждого x из области определения z| H(x)z < 0 для каждого z такого, что zru(x) = 0 и z 6= 0, где H(·) = r2u(·) — матрица

вторых частных производных.

/181. Покажите на примере, что функция совокупного спроса, полученная на основе суммирования конечного числа маршаллианских функций спроса, вообще говоря, не удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений.

/182. Покажите, что если предпочтения потребителей одинаковы, а представляющая их функция полезности — непрерывная строго вогнутая и положительно однородная первой степени, то функция совокупного спроса удовлетворяет аксиоме выявленного предпочтения.

/183. В случае двух товаров спрос задается следующими функциями:

x1 =	p2		= −	p1		=	R
		, x2			, x3			.
	p3			p3			p3

(a) Проверьте что данная система функций спроса удовлетворяет закону Вальраса и однородна нулевой степени по ценам и доходу.

3.5. Задачи к главе

131

(b) Покажите, что для данной системы функций спроса не выполняется слабая аксиома выявленных предпочтений

/ 184. Докажите, что если предпочтения потребителя монотонны и строго вогнуты, то его функция спроса удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений.