и tJ = tjk

10.5. Равновесие с налогами на экстерналии	352

10.5Равновесие с налогами на экстерналии

В дальнейшем будем рассматривать лишь налоги с единицы экстерналии, выраженные в деньгах. Обозначим через Pi множество благ k, потребление которых i-м потребителем облагается налогами. Аналогично через Pj обозначим множество благ k, производство которых j -м производителем облагается налогами.

Пусть tik — ставка налога на потребление блага k потребителем i. Тогда задача i-го потребителя модифицируется следующим образом:

ui(xi, x−i, y) → max

xi

XX

pkxik +	(pk + tik)xik 6 βi,	(10.9)
k /Pi	k Pi
	xi Xi.

Условия первого порядка для внутреннего решения x¯i данной задачи имеют вид

		∂ui(x¯i, x¯−i, y¯)
		∂xik		= νipk, k / Pi,	(10.10)
	∂ui(x¯i, x¯−i, y¯)		= νi(pk + tik), k Pi,		(10.11)
		∂xik
где νi — множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.

Соответственно если tjk — ставка налога на производство блага k производителем j , то задача производителя j имеет вид:

X

+

X

p

y

max

(10.12)

k /Pj

k

jk

(pk − tjk)yjk → yj

k Pj

g(yj, y−j, x) > 0.

(10.13)

Условия первого порядка для решения y¯j данной задачи имеют вид

∂g(y¯j, y¯−j, x¯)

κj

+ pk = 0, k / Pj,

(10.14)

∂yjk

∂g(y¯j, y¯−j, x¯)

κj

∂yjk

+ pk − tjk = 0, k Pj,

(10.15)

где κj — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.

Введем обозначения для ставок всех налогов, существующих в экономике, tI = { tik

k Pi }

no

k Pj , и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.

Определение 71:

Назовем (p¯, x¯, y¯) равновесием с налогами (tI , {Pi}i, tJ , {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями, если

3 x¯i — решение задачи потребителя (10.9) при ценах p¯ , доходах

X

βi = p¯ωi + γijp¯y¯j + Si,

j J

налогах, определяемых tI , Pi , и объемах потребления и производства других экономических субъектов x¯−i, y¯ .

3y¯j — решение задачи производителя (10.12) при ценах p¯ , налогах, определяемых tj, Pj

иобъемах производства и потребления других экономических субъектов y¯−j, x¯ .

∂xik

10.5. Равновесие с налогами на экстерналии

353

3 (x¯, y¯) — допустимое состояние, т. е.

XX

(¯xik − ωik) =	y¯jk k.
i I	j J

3 сумма налогов равняется сумме трансфертов

X	Xi	X	Xj	X
		tikx¯ik +		tjky¯jk = Si.
i I k P		j J k P		i I

Приведенное ниже утверждение представляет собой аналог второй теоремы благосостояния для равновесия с налогами на экстерналии. Оно утверждает, что (при некоторых естественных условиях) для Парето-оптимального состояния этой экономики можно найти цены благ и налоги такие, что данное Парето-оптимальное состояние окажется равновесием с налогами.

Теорема 110:

Пусть (xˆ, yˆ) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = Rl+ . Предположим также, что

•xˆik > 0 i k / Ei ;

•функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируе-

мы;

•существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);

•функции ui(x, y) вогнуты по xi ; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yj . Тогда существуют цены p, множества налогооблагаемых благ Pi и Pj , налоги tI , tJ , и

трансферты S, такие что (p, xˆ, yˆ) является равновесием с налогами. При этом множества налогооблагаемых благ можно выбрать так, что Pi = Ei и Pj = Ej .

Доказательство: Ограничимся также схемой доказательства. В качестве цены k-го блага pk можно взять множитель Лагранжа σk для балансового ограничения. В качестве множеств Pi

иPj облагаемых налогами благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei

иEj соответственно. В качестве ставки налога tik , k Pi выберем

X6	∂us(xˆ, yˆ)		X	∂gj(yˆ, xˆ)
tik = − λs	∂xik	−	µj	∂xik	,
s=i			j J

где λs и µj — множители Лагранжа для задачи, характеризующей рассматриваемый оптимум Парето. Ставка налога для блага, не принадлежащего Ps , принимается равной нулю.

Далее доказывается, что xˆi является решением задачи (10.9) при

X

βi = pxˆi + tikxˆik, k Pi

x−i = xˆ−i , y = yˆ , данных ценах и введенных налогах. Действительно, точка xˆi является допустимой в этой задаче. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка. Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:

∂ui(xˆ, yˆ)	= pk + tik, k Pi,
λi ∂xik

λi ∂ui(xˆ, yˆ) = pk, k / Pi.

Но это и есть условия первого порядка в задаче потребителя при νi , равном 1 .

λi

10.5. Равновесие с налогами на экстерналии						354
Аналогично в качестве ставки налога tjk , k Pj выберем
X		∂ui(xˆ, yˆ)		X6	∂gs(yˆ, xˆ)
tjk = −	λi	∂yjk	−	µs	∂yjk	,
i	I			s=j

а ставку налога для блага, не принадлежащего Ps , примем равной нулю. Далее доказывается, что yˆj является решением задачи (10.8) при данных ценах и x = xˆ и y−j = yˆ−j .

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины

kXi	tikxˆik − (pωi	X		Xj
Si = pxˆi +		+		γij(pyˆj −	tjkyˆjk)).
P		j	J	k P
Их сумма равна, как и требуется, величине		X	Xj
X Xi
	tikxˆik +			tjkyˆjk,
i	I k P	j J k		P
и с учетом этих трансфертов доходы потребителей равны
	βi = pxˆi +	kXi	tikxˆik,
		P
то есть ровно столько, сколько необходимо для покупки набора xˆi .

Замечание: Ставка налога может оказаться величиной отрицательной. Это, в частности, будет иметь место когда потребление (производство) данного блага вызывает только положительные экстерналии. Содержательно это означает, что потребителю (производителю) выплачивается дотации по соответствующей ставке.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости.

В следующем утверждении описаны условия, при которых равновесия с налогами Паретооптимальны. Таким образом, это утверждение представляет собой вариант первой теоремы благосостояния для такой экономики. Условия оптимальности равновесия с налогами, (x¯, y¯), имеют вид следующего правила Пигу:

tik

pk0

tjk

pk0

= − X ∂us(x¯, y¯)/∂xik s6=i ∂us(x¯, y¯)/∂xsk0

= − X ∂ui(x¯, y¯)/∂yjk i I ∂ui(x¯, y¯)/∂xik0

+ X ∂gj(y¯, x¯)/∂xik , i, k Pi, j J ∂gj(y¯, x¯)/∂yjk0

(T )

+ X ∂gs(y¯, x¯)/∂yjk , j, k Pj. s6=j ∂gs(y¯, x¯)/∂ysk0

Если равновесие с налогами на экстерналии Парето-оптимально и удовлетворяет правилу Пигу, то соответствующие налоги называют налогами Пигу10.

Теорема 111:

Предположим, что (p¯, x¯, y¯) — равновесие с налогами (tI , {Pi}i, tJ , {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями и, кроме того,

•x¯i int Xi (равновесие внутреннее)

•все блага, порождающие экстерналии, облагаются налогами, т. е. Ei Pi и Ej Pj .

10A. C. Pigou: The Economics of Welfare, London: Macmillan, 1932 (рус. пер. А. С. Пигу: Экономическая теория благосостояния, М.: Прогресс, 1985).

10.5. Равновесие с налогами на экстерналии

355

•функции полезности и производственные функции дифференцируемы;

•существует благо k0 , для которого выполнены условия (O).

Тогда,

(i)если функции полезности и производственные функции вогнуты, то чтобы это равновесие с налогами было Парето-оптимальным, достаточно, чтобы налоги удовлетворяли правилу Пигу (T );

(ii)если равновесие с налогами Парето-оптимально, и для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j ), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т. е. k / Pi (k / Pj ), то налоги должны

удовлетворять правилу Пигу (T ).

Доказательство: (i) Нам нужно показать, что найдутся числа {λi}i, {µj}j, {σk}k , λi > 0, µj > 0, такие что для них выполнены соотношения (10.1)-(10.2) (дифференциальная характеристика Парето-оптимума экономики с экстерналиями). По обратной теореме Куна — Таккера при вогнутости функций полезности и производственных функций выполнение этих соотношений — достаточное условие максимума для каждой из задач, характеризующих Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями.

Воспользуемся дифференциальной характеристикой равновесия с налогами (10.10)-(10.11) и (10.14)-(10.15). Множители Лагранжа выберем следующим образом:

λi = 1/νi, µj = κj, σk = p¯k.

Поскольку по предположению все блага, не облагаемые налогами, т. е. k / Pi и k / Pj , не порождают экстерналий, то дифференциальные характеристики Парето-оптимума для них имеют вид:

λi	∂ui	= σk, i, µj	∂gj	+ σk = 0, j.
	∂xik		∂yjk

Легко проверить, что они выполнены при выполнении соотношений (10.10) и (10.14). Кроме того, из (10.10) и (10.14) при k = k0 имеем

λi =		1	=			p¯k0		> 0,
	νi			∂ui/∂xik0
µj = κj = −						p¯k0		> 0,
						∂gj/∂yjk0

откуда получаем следующие выражения для налогов, указанных в условии теоремы:

X6		∂us			X		∂gj
tik = −	λs	∂xik		−	µj		∂xik		.
s=i					j J
X		∂ui			X6		∂gs
tjk = −	λi	∂yjk		−	µs	∂yjk		.
i	I				s=j

Подставляя их в дифференциальные характеристики равновесия с налогами (10.11) и (10.15), убеждаемся в том, что дифференциальные характеристики Парето-оптимума (10.1)-(10.2) выполнены.

(ii) Для любого k 6= k0 существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Из условий первого порядка задачи потребителя i следует, что

∂ui/∂xik = p¯k . ∂ui/∂xik0 p¯k0

10.5. Равновесие с налогами на экстерналии

356

Сдругой стороны, потребление этим потребителем благ k и k0 не порождает экстерналий

ипоэтому из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

∂ui/∂xik = σk . ∂ui/∂xik0 σk0

Это означает, что p¯k/p¯k0 = σk/σk0 , т. е. множители Лагранжа пропорциональны ценам.

Для произвольного потребителя i и блага k, потребление которого данным потребителем облагается налогом (k Pi), имеем из условия первого порядка задачи потребителя

∂ui/∂xik = p¯k + tik . ∂ui/∂xik0 p¯k0

С другой стороны, из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

	∂ui/∂xik		X6	∂us/∂xik		X	∂gj/∂xik		σk
	∂ui/∂xik0	+		∂us/∂xsk0	−		∂gj/∂yjk0	= σk0 .
			s=i			j J

Производя соответствующие замены, получим требуемый результат:

tik	X6	∂us/∂xik	X		∂gj/∂xik
p¯k0					∂gj/∂yjk0 .
	= −	∂us/∂xsk0	+	J
	s=i		j

Аналогично, для произвольного производителя j и блага k, производство которого данным производителем облагается налогом (k Pj), имеем

∂gj/∂yjk

=

p¯k − tjk

.

∂gj/∂yjk0

p¯k0

и

X

X6

∂gj/∂yjk

∂ui/∂yjk

∂gs/∂yjk

σk

−∂gj/∂yjk0

−

= −σk0

+

I

∂ui/∂xik0

s=j

∂gs/∂ysk0

,

i

откуда следует, что

tjk

X

∂ui

/∂yjk

X6

∂gs/∂yjk

, j, k Pj.

p¯k0

∂ui/∂xik0

∂gs/∂ysk0

= −

+

i I

s=j

Замечание: Хотя по условиям теоремы множество благ, потребление (производство) которых облагается налогами, не обязано совпадать с множеством благ, порождающих экстерналии, ставки налога на блага, не порождающие экстерналии (блага из множеств Pi\Ei и Pj\Ej ) оказываются равными нулю. Из этого, фактически, следует, что множества налогооблагаемых благ должны включать блага, порождающие экстерналии, и только их.

Замечание: Предположение о том, что для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j ), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т. е. k / Pi (k / Pj ) фактически оказывается необходимым для справедливости второй части теоремы. В ситуациях, когда оно не выполняется, поведение потребителя i, а следовательно и равновесие, не зависят от того, какую часть цены pk + tik , с которой он сталкивается, данный потребитель выплачивает в качестве налога, а какую — в качестве рыночной цены.