3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

120

3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов

Существует простой способ выбора уникальной функции полезности, представляющей данные предпочтения. Если зафиксировать некоторый вектор цен p, то можно поставить задачу для данного набора x X подобрать эквивалентный ему набор h X , который бы стоил как можно меньше в ценах p. Тогда набору x в качестве величины полезности можно сопоставить стоимость набора h в ценах p, т. е. ph.

Рис. 3.14 иллюстрирует эту идею. Набор x0 определяет кривую безразличия. Среди наборов на этой кривой h0 имеет наименьшую стоимость в ценах p (наклон штриховой линии, проходящей через h0 соответствует отношению цен). Так же точно h00 при тех же ценах имеет наименьшую стоимость среди наборов, эквивалентных x00 . Поскольку x0 лежит на более

высокой кривой безразличия, чем x00 , то его полезность ph0 будет выше, чем полезность x00 , равная ph00 .

x2

h0

h00 x0

x00

x1

Рис. 3.14. Функция расходов как функция полезности

Очевидно, что выбранная указанным способом функция полезности является функцией расходов (см. Определение 26 на с. 77). Действительно, нам известно (см. Теорему 26), что при фиксированных ценах p функция расходов e(p, x) = ph(p, x) = px(p, e(p, x)) представляет собой функцию полезности:

x< y e(p, x) > e(p, y).

Вэтом разделе мы покажем, что знание системы функций спроса позволяет восстановить функцию расходов, а, следовательно, и предпочтения на множестве потребительских наборов, которые могут быть выбраны потребителем при некоторых значениях цен и доходов, т. е. на множестве значений спроса. В последующем мы обсудим, как имеющаяся информация о спросе потребителя позволяет восстановить (оценить) предпочтения и для остальных потребительских наборов.

Заметим сначала, что по лемме Шепарда (Теорема 29)

∂e(p, x) = hi(p, x), ∂pi

где по определению h(p, x) ≡ x(p, e(p, x)). Тем самым, мы имеем систему дифференциальных уравнений относительно функции расходов e(p, x) при фиксированном x:

∂e(p, x)

∂pi

= xi(p, e(p, x))

или

rpe(p, x) = x(p, e(p, x)).

( )

∂xi(p,R) ∂pj

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

121

К ней следует добавить граничные условия e(p0, x) = R, где p0 — вектор цен, который при доходе R может породить спрос x, т. е. такой вектор цен, что x = x(p0, R).

Решая эти уравнения, мы для каждого набора x из области значений функции спроса найдем значение функции расходов e(p, x) при всех возможных ценах p, т. е. минимальное значение расходов потребителя, достаточное, чтобы при ценах p обеспечить ему не меньший уровень полезности, чем тот, который обеспечивается набором x.

Будем предполагать в дальнейшем, что функция спроса имеет является непрерывно дифференцируемой (и по ценам, и по доходу). Можно заметить следующее. Если функция e(p) является решением системы дифференциальных уравнений ( ), то она является дважды непрерывно дифференцируемой. Кроме того, l × l матрица S(p, R) с элементами Sij(p, R) =

+ ∂xi(p,R) xj(p, R) («матрица замены») должна быть симметричной. Действительно,

∂R

продифференцировав уравнения ( ) по ценам, увидим, что матрица S совпадает с матрицей вторых производных по ценам функции e(·). Но последняя матрица должна быть симметричной (согласно теореме Юнга).

Оказывается, симметричность матрицы S является не только необходимым, но и достаточным условием существования и единственности решения системы ( ). Это классический результат теории дифференциальных уравнений в частных производных (так называемая теорема Фробениуса). Кроме того, известно, что решение будет непрерывно дифференцируемой функцией параметров p0, R, задающих граничные условия. Заметим, однако, что эти результаты гарантируют существование только локального решения. Для того, чтобы гарантировать существование глобального решения, нужны дополнительные предположения28.

Пример 26:

Продемонстрируем восстановление функции расходов e(p, x) из функции спроса вида x(p, R) =

Rp2

a2Rp1

;

. Мы не проверяем выполнение требуемых условий, так как, фактиче-

p1p2+a2(p1)2

(p2)2+a2p1p2

ски,

все это уже было сделано

в предыдущих параграфах. Нам требуется решить следующую

систему дифференциальных уравнений в частных производных:

∂e

=

ep2

и

∂e

=

a2ep1

p1p2 + a2(p1)2

(p2)2 + a2p1p2

∂p1

∂p2

Решим первое уравнение, рассматривая p1 как переменную, а p2 и x как параметры. Заметим, что оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Кроме того,

p2

p2

1

a2

дробь

допускает разложение

=

−

. Используя это, можем

p1p2+a2(p1)2

p1p2+a2(p1)2

p1

p2+a2p1

записать

Z

= Z

− Z

a2dp1

de

dp

1

+ const.

e

p1

p2 + a2p1

Интегрируя, получим

ln(e) = ln(p1) − ln(p2 + a2p1) + const,

или

p1

e = Ap2 + a2p1 ,

где A зависит от p2 и x, которые мы при решении рассматривали как неизменные параметры:

A = A(p2, x).

28См. L. Hurwicz and H. Uzawa: On the Integrability of Demand Functions, in Preferences, Utility and Demand: A Minnesota Symposium, J. S. Chipman et al. (ed.), New York: Harcourt, Brace, Jovanovich, 1971: 174–214. В

этой классической статье делается предположение, что производные функций спроса по доходу равномерно ограничены на множествах цен и доходов вида { p | p0 6 p 6 p00 } × R+ , где p0 < p00 , p0, p00 Rl++ , и что при нулевом доходе спрос равен нулю вне зависимости от цен p Rl++ .

p1p2

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

122

Подставим полученное выражение для e(p, x) во второе уравнение и получим дифферен-

циальное уравнение для A:

∂A

·

p1

− A

p1

= A

a2p1

·

p1

∂p2

p2 + a2p1

(p2 + a2p1)2

(p2)2 + a2p1p2

p2 + a2p1

или

∂A

a2p1

1

1

= A

+ A

= A

.

(p2)2 + a2p1p2

p2

+ a2p1

∂p2

p2

Отсюда

ZdA = Z dp2 + const. A p2

Интегрируя, получим решение следующего вида: A(p2) = Bp2 , где B — множитель, который зависит от набора x, который мы в данном случае рассматривали как постоянный параметр, т. е. A(p2, x) = B(x)p2 .

Таким образом, получили следующее выражение для функции расходов:

p1p2 e(p, x) = B(x)p2 + a2p1 .

Для вычисления B(x), требуется использовать граничные условия. Для этого сначала найдем цены, при которых потребитель предъявит спрос на данный набор x (другими словами, найдем обратную функцию спроса p(x, R)). Уравнения спроса

x1 =	Rp2	и x2 =	a2Rp1
	p1p2 + a2(p1)2		(p2)2 + a2p1p2

при этом следует рассматривать как систему уравнений относительно цен p1 и p2 . Данную систему несложно преобразовать к виду

rx2

= ap1

,

x1

p2

p

x

1

+ p

x

2

= R.

1

2

Это дает линейные уравнения

относительно

p

и p

, решая которые, найдем

1

2

p1 = √

R

и p2 = √

aR

(√

+ a√

)

(√

+ a√

).

x1

x1

x2

x2

x1

x2

Подставив эти цены в функцию расходов, мы должны получить доход R:

B(x)

p1p2

= R.

p2 + a2p1

Отсюда найдем выражение для B(x):

B(x) = R(p2 + a2p1) = √x1 + a√x2.

Окончательно, получим следующую функцию расходов:

e(p, x) =		p1p2	(√		+ a√		).
				x1		x2
	p2
		+ a2p1

Как мы уже говорили, функция расходов при фиксированных ценах есть функция полезности. Поскольку первый множитель здесь не зависит от потребительского набора x, то он не представляет интереса при восстановлении предпочтений. Поэтому более простая функция B(x) = √x1 + a√x2 тоже является функцией полезности, порождающей рассматриваемый спрос.

Заметим, что предложенное здесь решение можно упростить, положив (без потери общно-

сти) p2 = 1 и интегрируя только по первой цене.

4

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

123

3.C.3 Проблема восстановимости предпочтений на всем множестве потребительских наборов

Из проведенного выше анализа следует, что знание системы функций спроса (полученной на основе максимизации полезности) позволяет восстановить предпочтения (представляющие их функции полезности) на каждом потребительском наборе, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R.

Однако, вообще говоря, не все возможные потребительские наборы принадлежат области значений системы функций спроса. Так, функции полезности u(x1, x2) = min{2x1 − x2, 2x2 − x1} соответствует система функций спроса, для которой x1(p, R) = x2(p, R). Как несложно понять, предложенное правило не позволяет задать полезность для наборов (x1, x2) таких, что x1 6= x2 .

Заметим, что хотя, вообще говоря, нам не удалось построить полностью функцию полезности, но зато, фактически, мы построили полностью непрямую функцию полезности v(p, R) = e(p0, x(p, R)). Непрямую функцию полезности такого вида принято называть денежной непрямой функцией полезности (см. Определение ?? на с. ??). Денежная непрямая полезность µ(q; p, R) — это непрямая функция полезности для функции расходов e(q, x), если рассматривать последнюю как функцию полезности.

Мы столкнулись здесь с частным проявлением общей проблемы: хотя каждая функция полезности однозначно определяет непрямую функцию полезности, обратное, вообще говоря, неверно. Т. е. по непрямой функции полезности v(p, R) = u(x(p, R)) не всегда можно восстановить обычную функцию полезности.

Тем не менее, по информации, содержащейся в функции спроса или непрямой функции полезности, можно построить некоторые аппроксимации для соответствующей прямой функции полезности. Эта аппроксимация оказывается достаточно хорошей в том смысле, что совпадает с функцией полезности всюду на множестве значений функции спроса и порождает по существу тот же спрос, что и данная функция полезности. Покажем это.

Пусть функция полезности u(·) определена на множестве допустимых потребительских

наборов , однако она известна (восстановлена) только на множестве ¯ , где ¯ — множе-

X X X

ство значений функции спроса, определенной на P × R++ , где P — некоторое множество

цен. Можно доопределить функцию полезности на множестве \ ¯ на основе выявленных

X X

предпочтений, что, как мы покажем, дает оценку сверху для функции полезности в точке

\ ¯ x X X .

Приведем соответствующее построение. Рассмотрим некоторый набор ˆ из ¯ . По опре- x X

делению xˆ = x(p, R) при некоторых ценах p и доходе R. Если при этих ценах и доходах рассматриваемый набор x мог быть куплен, то можно с уверенностью сказать, что набор x не может быть лучше, чем xˆ . По аналогии с анализом выявленных предпочтений можно сказать, что набор x выявленно не лучше, чем xˆ . Таким образом, для рассматриваемой функции полезности должно выполняться соотношение u(x) 6 u(xˆ) = u(x(p, R)). Следовательно, u(x) 6 v(p, R) при всех ценах и доходах, таких что px 6 R. Это дает следующую оценку для u(x):

u(x) 6 inf v(p, R) p P, px 6 R .

(Поскольку непрямая функция полезности v(p, R) положительно однородна нулевой степени, то в качестве дохода R здесь можно взять произвольное положительное число, например,

R = 1.)

Возникает идея рассматривать в качестве аппроксимации функции полезности эту оценку, полученную на основе выявленных предпочтений, а именно,

u (x) = inf v(p, R) p P, px 6 R .

наборе x.

R max{p1,p2}

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

124

Другими словами, в качестве полезности набора x выбираем значение следующей задачи:

v(p, R) → inf

p P	(♥)

px 6 R.

Заметим, что в общем случае речь должна идти об инфимуме, а не о минимуме. Это объясняется тем, что оптимизация ведется на множестве, которое не обязательно является замкнутым. В частности, целевая функция (непрямая функция полезности) может быть не определена в случае, когда хотя бы одна из цен обращается в ноль. В силу этого замена инфимума на минимум невозможна, так как последний может, вообще говоря, не существовать. В то же время, инфимум существует, хотя при некотором значении параметров и может быть равен −∞.

В принципе, данная процедура позволяет построить «функцию полезности» u (x) на множестве всех наборов благ. Однако ясно, что она может не везде совпадать с исходной функцией полезности. Мы можем быть уверены только, что u (x) > u(x), поскольку это непосредственно следует из определения функции u (·). Если x — вектор, который не реализуется как спрос участника ни при каких ценах и доходе (при которых x является допустимым в задаче потребителя), то u(x) может быть меньше u (x).

Приведем соответствующий пример.

Пример 27:

Рассмотрим случай приведенной выше функции полезности

u(x1, x2) = min{2x1 − x2, 2x2 − x1}.

Тогда непрямая функция полезности (как и в случае леонтьевской функции полезности u(x1, x2) =

min{x1, x2}) имеет вид v(p, R) = . Найдем значение u (x) при P = R2++ , т. е. значение задачи

R

→ inf

max{p1, p2} p1,p2>0

p1x1 + p2x2 6 R.

Рассмотрим сначала случай положительного потребительского набора (x1, x2 > 0). Из «бюд-

R			R
жетного ограничения» следует что pi 6 xi	, откуда	max{p1, p2} 6			. Таким образом,
			min{x1,x2}

u (x1, x2) > min{x1, x2}. Покажем, что это точная нижняя граница, построив соответствующую последовательность цен. Пусть, например, x1 > x2 . Рассмотрим последовательность

{(p1n, p2n)}, где

1

1

.

p1n =

R 1

, p2n =

R

−

x1

2n

x2

2n

Для этой последовательности цен p1n 6 p2n , поэтому

v(pn, R) =

R

=

R

=

x2

.

max{p1n, p2n}

p2n

1 −

1

2n

Таким образом, u (x1, x2) = x2 = min{x1, x2}. При x1 6 x2 аналогично u (x1, x2) = x1 = min{x1, x2}.

Если xi = 0, то найдется допустимая последовательность с pni = n, которая обеспечивает

u (x1, x2) = 0 = min{x1, x2}. Таким образом, u (x1, x2) = min{x1, x2} при любом допустимом

4