5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

164

благам. В определенном смысле используемый здесь подход является более общим, поскольку позволяет моделировать блага, утилизация которых требует затрат ресурсов.

Любой механизм координации решений экономических субъектов должен приводить к допустимому состоянию экономики. Анализ экономического механизма включает описание условий, при которых он «работоспособен», и свойств тех допустимых состояний, к которым он может привести. Ниже мы проведем такое исследование для механизма ценовой координации совершенных рынков.

5.2Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

Вэтом параграфе мы вводим понятие общего равновесия (или, более точно, общего конкурентного равновесия)2 и обсуждаем ту роль, которую играет это понятие в неоклассическом анализе.

5.2.1Субъекты экономики в моделях общего равновесия

Модель потребителя

Ниже через pk будем обозначать цену k-го блага, а через p вектор всех цен (p1, . . . , pl). Пусть потребитель i I , предпочтения <i которого зависят только от собственного потребления xi = {xik}k k , сталкивается с рыночными ценами p приобретаемых им благ. Как и ранее, мы предполагаем, что потребитель выбирает наилучший потребительский набор из тех, которые ему доступны, т. е. потребительских наборов, принадлежащих бюджетному множеству. Под бюджетным множеством подразумевается множество допустимых потребительских наборов, xi Xi , удовлетворяющих бюджетному ограничению:

X

pxi = pkxik 6 βi, k K

т. е. бюджетное множество имеет вид

Bi(p, βi) = { xi Xi | pxi 6 βi }

Здесь βi = βi(·), где βi(·) — функция, задающая доход потребителя. Способ формирования дохода зависит от конкретного варианта экономики. Например, в экономике обмена доход потребителя формируется за счет продажи по рыночным ценам его начальных запасов:

X

βi(p, ωi) = pωi = pkωik. k K

В модели классических рынков предполагается, что начальные запасы ωi , цены, а также доходы из других источников не зависят от выбора потребителя (определяются экзогенно). Другими словами, потребитель считает, что не влияет на цены и свою исходную (до торговли) собственность, принимая их как данные. Поэтому при описании выбора потребителя при заданных ценах будем считать, что доходы фиксированы.

2Развитие этой модели связано, в частности, с такими именами, как Адам Смит (1776), Давид Рикардо

´

(1817), Леон Вальрас (1874, 1883), Кеннет Эрроу и Жерар Дебрё (1950-е гг.). См. напр. L. Walras: El´ements d’´economie politique pure, ou th´eorie de la richesse sociale, Lausanne, Paris: ??, 1874-1877 (рус. пер. Л. Вальрас: Элементы чистой политической экономии или Теория общественного богатства, М.: Экономика, 2000); L. Walras: Th´eorie math´ematique de la richesse sociale, Lausanne: ??, 1883; K. J. Arrow and G. Debreu: Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy, Econometrica 22 (1954): 265–290; G. Debreu: Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, John Wiley & Sons, 1959 (Cowles Foundation Monograph No. 17).

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

165

Таким образом, набор x¯i является выбором потребителя, сталкивающегося с ценами p и имеющего доход βi , если

1)набор x¯i принадлежит бюджетному множеству, x¯i Bi(p, βi);

2)любой потребительский набор xi Xi лучший, чем x¯i , не принадлежит бюджетному

множеству, т. е. xi i x¯i xi / Bi(p, βi).

Если предпочтения потребителя описываются функцией полезности ui(·), то его выбор моделируется как решение задачи максимизации функции полезности по xi Xi при бюджетном ограничении. Таким образом, задача потребителя имеет вид

ui(xi) → max

xi

xi Bi(p, βi).

При дифференцируемости функций полезности можно охарактеризовать решение задачи потребителя, т. е. оптимальный для данного потребителя набор x¯i , при помощи теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме (см. Приложение).

Будем считать, что решение задачи потребителя внутреннее, т. е.3

x¯i int Xi.

Это позволяет не учитывать ограничение xi Xi . Функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L(xi, νi) = ui(xi) + νi	βi − k K pkxik ,
	X

где νi — множитель Лагранжа для бюджетного ограничения.

По теореме Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что не все цены равны нулю) существует множитель Лагранжа νi > 0, такой что в оптимуме

∂L(x¯i, νi) = 0, k K, ∂xik

или

∂ui(x¯i) = νipk, k K. ∂xik

Другими словами,

rui(x¯i) = νip,

то есть градиент функции полезности коллинеарен вектору цен.

Если предположить, что в решении задачи потребителя x¯i не все частные производные функции полезности равны нулю, rui(x¯i) 6= 0, то νi > 0. Такое решение задачи потребителя может иметь место только если цены, с которыми он сталкивается, не все равны нулю. Исключая множитель Лагранжа, для любых двух благ k, s K , таких что pk 6= 0, получаем,

что

ps = ∂ui(x¯i)/∂xis . pk ∂ui(x¯i)/∂xik

Следовательно, решение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы замещения любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы получили классическую дифференциальную характеристику решения задачи потребителя.

3Напомним, что это означает, что x¯i принадлежит Xi вместе с некоторой своей окрестностью.

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

166

Это одно из условий первого порядка, т. е. необходимое условие максимума. Поскольку, как мы предположили, градиент не равен нулю, то νi > 0, и по условию дополняющей нежесткости теоремы Куна — Таккера получаем, что бюджетное ограничение выходит на равенство:

pxi = βi.

Это еще одно условие первого порядка.

Условия первого порядка задают систему уравнений, любое (внутреннее) решение которой по обратной теореме Куна — Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено дополнительное условие, состоящее в том, что множество Xi выпукло, а функция полезности ui(·) вогнута.

Напомним, что ui(·) называется вогнутой, если

ui(αx + (1 − α)y)>αui(x) + (1 − α)ui(y)

для любого α [0, 1] и любых x и y.

Замечание: На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть преобразована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. Монотонное преобразование функции полезности приводит к новой функции полезности, представляющей те же предпочтения. Так, например, функция u(x, y) = xy и ее логарифм ln(u(x, y)) = ln(x) + ln(y) задают одни и те же потребительские предпочтения, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы Куна — Таккера. Следовательно, допускает его и первая, приводимая к вогнутой.

Существуют и более слабые наборы условий, гарантирующие тот факт, что условие первого порядка приводят к решению задачи потребителя. Обычно они включают выпуклость предпочтений (или квазивогнутость представляющих их функций полезности) (см. задачу???). Мы приводим здесь более сильные, чем это необходимо, достаточные условия оптимальности, чтобы использовать в анализе хорошо известный читателям аппарат теории экстремальных задач — эффективное средство их анализа.

Отдельного рассмотрения требует случай, когда решение задачи потребителя не является внутренним. Пусть, например, Xi = Rl+ и потребление некоторых благ в решении задачи потребителя может быть равно нулю. Для получения дифференциальной характеристики такого решения опять можно воспользоваться теоремой Куна — Таккера. Получаем, что оптимальный набор должен удовлетворять условиям

∂L(x¯i)

6 0, причем

∂L(x¯i)

= 0, если x¯ik > 0, k K.

∂xik

∂xik

или

∂ui(x¯i)

6

∂ui(x¯i)

νipk, причем

= νipk, если x¯ik

> 0, k K.

∂xik

∂xik

Модель производителя

При выборе объемов производства yj = {yjk}k K каждая фирма j J ограничена своим технологическим множеством Yj . (Напомним, что здесь речь идет о чистом выпуске, т. е. отрицательные элементы технологии yj соответствуют затратам.)

В качестве целевой функции «классического» производителя берется его прибыль

X

πj = pyj = pkyjk. k K

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

167

В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает, что не может влиять на цены. Таким образом, задачей производителя является максимизации прибыли при технологических ограничениях:

pyj → max

yj

yj Yj.

Если технологическое множество задано неявной производственной функцией gj(·), то задача производителя записывается как

pyj → max

yj

gj(yj) > 0.

При дифференцируемости функции gj(·) решение этой задачи также можно охарактеризовать при помощи теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа для задачи производителя равна

X

L = pkyjk + κjgj(yj),

k K

где κj — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.

По теореме Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что rgj(yj) 6= 0) существует множитель Лагранжа κj > 0, такой что в оптимуме

∂L(y¯j, κj) = 0, k K, ∂yjk

или

κj ∂gj(y¯j) = pk, k K. ∂yjk

Другими словами,

κjrgj(y¯j) = p,

то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен. Если не все цены равны нулю (p 6= 0), то κj > 0. Исключая множитель Лагранжа κj , для любых двух благ k, s K , таких что pk 6= 0, получаем, что

ps = ∂gj(y¯j)/∂yjs . pk ∂gj(y¯j)/∂yjk

Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной нормы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы получили классическую дифференциальную характеристику решения задачи производителя.

Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной теореме Куна — Таккера является решением задачи производителя, если выполнено дополнительное условие, что функция gj(·) вогнута.

5.2.2Модели общего равновесия

Теперь модели отдельных экономических субъектов, потребителей и производителей, объединим в модель рынка (экономики) в целом. Такие модели называются моделями общего равновесия.

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

168

Модель обмена

В случае, если в экономике производство отсутствует, то она называется экономикой обмена. Таким образом, экономика обмена характеризуется множеством потребителей, множествами допустимых потребительских наборов потребителей, их предпочтениями и начальными запасами, т. е.

EE = {I, (Xi, <i, ωi)i I }.

В экономике обмена потребитель получает доход только от начальных запасов. Введем теперь определение равновесия для экономики обмена.

Определение 44:

Равновесием по Вальрасу в экономике обмена EE называется набор (p¯, x¯), удовлетворяющий следующим условиям:

Ôкаждый вектор x¯i является решением задачи потребителя i при ценах p¯ и доходе βi = p¯ωi ;

Ôx¯ — допустимое состояние экономики EE , следовательно, для всякого блага k выполнено

X

x¯ik = ωΣk,

i I

P

где ωΣk = i I ωik — суммарные запасы блага k в экономике.

x21

x12

ω

L++1 (x¯1)

x¯

L++2 (x¯2)

x11

x22

Рис. 5.1. Иллюстрация равновесия на ящике Эджворта

Удобным инструментом для иллюстрации экономики обмена является диаграмма Эджворта (ящик Эджворта). Эта диаграмма позволяет наглядно представить экономику с 2 потребителями и 2 благами. Обычно предполагается, что множества допустимых потребительских наборов в такой экономике имеют вид x1 > 0 и x2 > 0. На диаграмме Эджворта потребление 1-го потребителя (x11, x12) представляется в обычной системе координат, а потребление 2-го потребителя (x21, x22) — в перевернутой с центром в точке (ωΣ1, ωΣ2), если смотреть из системы координат 1-го участника. Точка (x11, x12) в первой системе координат совпадет с точкой (x21, x22) во второй системе координат, что позволяет изобразить состояние x одной точкой на данной диаграмме.

Рис. 5.1 иллюстрирует на ящике Эджворта концепцию равновесия. Общая бюджетная прямая в равновесии проходит через точку начальных запасов ω и равновесный вектор x¯ . Наклон бюджетной прямой соответствует отношению равновесных цен p¯1/p¯2 . У каждого потребителя множество L++i (x¯i) наборов, которые лучше, чем равновесный набор x¯i , лежит по соответствующую сторону от бюджетной прямой, так что это множество не имеет общих точек с бюджетным треугольником данного потребителя.

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

169

Модель Эрроу—Дебре

???

Модель Эрроу — Дебре является развитием модели обмена и включает в себя, помимо потребителей, производственный сектор.

Особенностью модели является и то, что в ней специфицированы права собственности потребителей на владение фирмами, производящими продукцию. Таким образом, в модели предполагается, что все предприятия кому-то принадлежат, то есть каждый потребитель i

P

владеет долей γij предприятия j , причем i I γij = 1, γij > 0.

Наличие производственного сектора влияет и на постановку задачи потребителя, поскольку доход потребителя складывается из того, что он может выручить от продажи начальных запасов и из его дохода от участия в прибыли. Поэтому доход потребителя при ценах p и величинах прибыли πj равен

XX

βi = pkωik + γijπj. k K j J

В целом экономика Эрроу — Дебре характеризуется множеством потребителей, множествами допустимых потребительских наборов потребителей, их предпочтениями и начальными запасами, множеством производителей, их производственными множествами и долями потребителей в прибыли фирм, т. е.

EAD = {I, (Xi, <i, ωi)i I , J, (Yj)j J , (γij)i I,j J }.

Определение 45:

Равновесием по Вальрасу в экономике Эрроу — Дебре EAD называется набор (p¯, x¯, y¯), такой что:

Ô каждый вектор x¯i является решением задачи потребителя i при ценах p¯ и доходе βi =

P

p¯ωi + j J γijp¯y¯j ;

Ôкаждый вектор y¯j является решением задачи производителя j при ценах p¯ ;

Ô(x¯, y¯) — допустимое состояние экономики EAD , следовательно, для всякого блага k выпол-

нено

X X X

i I	x¯ik = ωik + y¯jk.
	i I	j J

Заметим, что условие допустимости состояния (x¯, y¯) означает выполнение балансов, что в контексте равновесия интерпретируется как равенство спроса и предложения4.

Ясно, что экономика обмена является частным случаем экономики Эрроу — Дебре при отсутствии производства, а концепция равновесия в экономике обмена конкретизирует концепцию равновесия для экономики Эрроу — Дебре.

Удобно иллюстрировать равновесие экономики с производством на диаграмме, аналогичной ящику Эджворта (см. Рис. 5.2). Рассматривается экономика с одним потребителем, одним предприятием и двумя благами. Множество ω + Y , состоящее из векторов ω + y, таких что y Y , где ω — начальные запасы, Y — технологическое множество, — это так называемое множество производственных возможностей экономики. Точка начальных запасов ω лежит на

4Если бы мы использовали вариант модели, о которой упоминалось выше — включающий балансы в виде неравенств (полубалансы), то в равновесии спрос мог бы быть ниже предложения. В таком случае определение равновесия потребовалось бы дополнить условием, что цены таких благ равны нулю. Более точно, потребовалось бы включить в определение равновесия закон Вальраса:

X X X

p¯ x¯i = p¯	ωi +	y¯j .
i I	i I	j J

В противном случае «потери денег» в экономике приводили бы к существованию нереалистичных равновесий.

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

170

границе производственных возможностей (в предположении, что 0 лежит на границе технологического множества). Вектор x¯ = ω + y¯ , соответствующий равновесию, тоже лежит на границе производственных возможностей. Через этот вектор проходит бюджетная прямая потребителя. Наклон бюджетной прямой соответствует отношению равновесных цен. Множество лучших, чем x¯ , точек лежит по противоположную сторону бюджетной прямой. Оно не имеет общих точек с бюджетным треугольником.

x2=ω2+y2

L++(x¯)

x¯=ω+y¯

ω+Y

ω x1=ω1+y1

Рис. 5.2. Иллюстрация равновесия в экономике с производством

Экономика с трансфертами

Если в экономике есть трансферты (перераспределение доходов между потребителями), то доход потребителя складывается из доходов от продажи начальных запасов, долях в прибыли фирм и трансфертов Si :

XX

βi = pkωik + γijπj + Si.

k K j J

Величина трансферта Si может быть как положительной так и отрицательной. Предполагается, что Si не зависит от выбора потребителя. Сумма трансфертов по всем потребителям должна быть равна нулю:

X

Si = 0.

i I

Дадим определение общего равновесия для общей модели экономики с трансфертами, задаваемой параметрами

ET = {I, (Xi, <i, ωi, Si)i I , J, (Yj)j J , (γij)i I,j J }.

Определение 46:

Равновесием по Вальрасу в экономике с трансфертами ET называется набор (p¯, x¯, y¯), такой что:

Ô каждый вектор x¯i является решением задачи потребителя i при ценах p¯ и доходе βi =

P

p¯ωi + j J γijp¯y¯j + Si ;

Ôкаждый вектор y¯j является решением задачи производителя j при ценах p¯ ;

Ô(x¯, y¯) — допустимое состояние экономики ET , следовательно, для всякого блага k выпол-

нено

X X X

i I	x¯ik = ωik + y¯jk.
	i I	j J

Экономика обмена и экономика Эрроу — Дебре являются частными случаями описанной здесь экономики с трансфертами.