10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями									364
	∂u/∂x2	=	1		−	∂f1	/∂y2
								.
	∂u/∂x3		∂f2/∂a2			∂f1	/∂a1

Заметим, что если налоги вычисляются на основе равновесия с торговлей экстерналиями, то они совпадают с ценами экстерналий. Более того, если предпочтения потребителя строго выпуклы, то налоги Пигу и цены экстерналий совпадают всегда, так как Парето-оптимальное

состояние в такой экономике единственно.

4

10.6.1Задачи

/ 476. Для экономик из задачи 468 на с. 349 охарактеризуйте равновесие с торговлей экстерналиями. Будет ли оно Парето-оптимальным?

10.7Альтернативная модель экономики с экстерналиями

В рассмотренной выше модели экономики с экстерналиями вешние влияния связаны непосредственно с объемами потребления и производства благ. Зачастую, однако, такие воздействия определяются не только объемами, но и способами производства и потребления таких благ. Так, объем загрязнения окружающей среды выхлопными газами определяется не только количеством автомобилей в данной местности, но и тем, как часто их используют их владельцы, типом двигателя, средней скоростью передвижения и т. д. Такие характеристики поведения экономических субъектов не всегда возможно учесть в предложенном выше подходе к моделированию экстерналий.

Альтернативный подход к моделированию внешний влияний состоит в следующем: Введем для каждого экономического субъекта вектор дополнительных переменных, описы-

вающих характеристики процесса потребления и производства благ, вызывающие экстерналии (или, для краткости, вектор экстерналий) ai Ai и aj Aj .

Полный набор дополнительных переменных будем обозначать через a. Как и ранее, обозначим через a−i (a−j ) вектор экстерналий, вызываемых всеми остальными экономическими субъектами. Функции полезности и производственные функции в этом случае зависят также и от дополнительных переменных:

ui = ui(xi, ai, a−i), gj = gj(yj, aj, a−j).

Читателю предлагается переформулировать все предыдущие понятия и результаты в данном случае (как и в общем случае, когда внешние влияния вызывают как величинами потребления и производства обычных благ (x−i , y−j ) так и характеристиками их потребления и производства a−i . (a−j ).

Мы проиллюстрируем данный подход к моделированию экстерналий, введенные понятия и разные типы равновесий несколькими примерами.

Пример 47 ((Курильщик и некурящий)):

Два студента, живущие в одной комнате в общежитии, имеют функции полезности

u1(x1, a) и u2(x2, a),

которые зависят от имеющихся в их распоряжении денег (x1 для первого, x2 для второго) и от количества выкуриваемых первым из них сигарет (a). Второй участник — некурящий, и ∂u2(x2, a)/∂a < 0, а у первого, напротив, ∂u1(x1, a)/∂a > 0, если количество сигарет меньше aˇ и ∂u1(x1, a)/∂a < 0, если a > aˇ. Ежедневный доход каждого равен ωi .

10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями

365

Рассмотрим два варианта правил поведения: либо (A) курить в комнате запрещается, без разрешения соседа по комнате, либо (B ) признается право курить без ограничения (эту экономику можно проиллюстрировать на ящике Эджворта, см. Рис. 10.1). При любом из этих правил возможны соглашения-сделки, приводящие к состояниям экономики (например, A0 в случае первого правила и B0 в случае второго), улучшающие благосостояния обоих участников. Поэтому у нас есть все основания ожидать, что в отсутствие явных или неявных запретов (и издержек сделок), два студента достигнут соглашения, в результате которого эта простая экономика окажется в Парето-оптимальном состоянии. Так, в случае A курящий может «купить» у некурящего право выкурить несколько сигарет в день. В случае B , наоборот, курящий может, за соответствующую сумму денег, выкуривать на несколько сигарет меньше (см. Рис. 10.1б).

а)	B	б)
a
		B0
	A0
x2	A	x1

a	B
		D
	C
x2	A	x1

Рис. 10.1.

Пример иллюстрирует два момента. Во-первых, когда, как в этом примере, объем экстерналий измерим и издержки сделок несущественны, тогда определение правил поведения и торговля экстерналиями способны решить проблему экстерналий и привести к Парето-опти- мальным состояниям экономики — устранить «фиаско рынка». В этом случае экстерналии, в сущности, превращаются в обычные товары, то есть возникает рынок экстерналий.

Во-вторых, с теоретической точки зрения, в отличие от обыденного понимания загрязнения, экстерналии симметричны. Если в варианте B ущерб от наличия экстерналий наносится некурящему, то в варианте A — курильщику.

Заметим, что правила поведения порождают своего рода права собственности. Так, ситуация подразумевает право некурящего не соглашаться на любой вариант выбора объема экстерналий курильщиком. Ситуация — право курильщика на выбор любого объема. Эти права собственности можно моделировать в данной и подобной ей ситуациях как право определять объем производства экстерналий одним из экономических субъектов. Так, в ситуации это право принадлежит некурящему, в ситуации — курильщику.

Можно рассматривать и более общий случай, когда признается право первого на курение определенного числа сигарет в день. Курить сверх этого «лимита» он может только с согласия некурящего, который заинтересован дать такое разрешение лишь при компенсации нанесенного ему при этом ущерба. При любой такой спецификации прав «начальное состояние» рассматриваемой экономики представляется точкой отрезка, соединяющего точки и . Это начальное состояние (и предполагаемое им распределение прав собственности) оказывает влияние на состояние экономики, которое будет достигнуто в результате соглашений между участниками сделки, и, в частности, на состояние рыночного равновесия — результата обмена

по равновесным рыночным ценам.

4

Пример 48 ((экономика с однородными экстерналиями)):

Рассмотрим экономику с одним типом экстерналий, которые «производят» только производители и «потребляют» только потребители. В этой экономике на уровень благосостояния

10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями

366

потребителя не влияет источник экстерналии, а только совокупное производство этих экстер-

налий, т. е.

X ui(xi, a) = ui(xi, aj)

j J

gj(yj, a) = gj(yj, aj),

где aj Aj R. Охарактеризуем Парето-оптимальные состояния этой экономики, разные типы равновесий, а также налоги Пигу {tj} и цены экстерналий {qji} (в равновесии с торговлей экстерналиями).

Рассмотрим сначала, Парето-оптимальное состояние экономики (xˆ, yˆ, aˆ), такое что xˆi int Xi , aˆj int Aj . Предположим, что существует благо k0 , удовлетворяющее условиям, аналогичным условиям (O). Дифференцируя функции Лагранжа задач, характеризующих это состояние,

X

X

X

kX

X

X

L =

λiui(xi,

aj) +

µjgj(yj, aj) +

σk(

yjk − (xik − ωik)),

i I

j J

j J

K

j J

i I

получаем следующие условия первого порядка:

∂L

= λi

∂ui

− σk = 0

i, k,

∂xik

∂xik

∂L

= µj

∂gj

+ σk = 0

j, k.

∂yjk

∂yjk

∂L

∂ui

∂gj

= Xi I λi

+ µj

= 0 j.

∂aj

∂a

∂aj

Поскольку для соответствующих задач выполнены условия регулярности, то множители Лагранжа λi и µj положительны.

Из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

∂ui/∂xik		=	∂gj/∂yjk				=	σk		i, j, k.
									,
∂ui/∂xik0			∂gj/∂yjk0					σk0
Xi I	∂u /∂a					∂g /∂aj
	i				=	j				, j.12
	∂ui/∂x			ik0		∂gj/∂yjk0

Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — цены благ. Тогда задача потребителя, располагающего доходом βi , имеет вид:

ui(xi, a) → max pxi 6 βi, xi Xi.

xi

Дифференциальная характеристика внутреннего решения этой задачи имеет вид

∂ui/∂xik = pk , k. ∂ui/∂xik0 pk0

При тех же ценах задача производителя имеет вид:

pyj → max gj(yj, aj) > 0, aj Aj.

yj,aj

Дифференциальная характеристика внутреннего (по aj ) решения этой задачи имеет вид

∂gj/∂yjk = pk , k. ∂gj/∂yjk0 pk0

12Это соотношение в теории общественных благ называют уравнением Самуэльсона (см. следующую главу).

10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями

367

∂gj = 0. ∂aj

Пусть (p¯, x¯, y¯, a¯) — равновесие. Тогда если экстерналии одного типа для всех потребителей (только положительные или только отрицательные), то состояние экономики (x¯, y¯, a¯) не оптимально по Парето. Например, если ∂ui/∂a 6 0 i и неравенство строгое по крайней мере для одного потребителя, то

Xi I	∂ui/∂a		∂g /∂aj
		6= 0 =	j	,
	∂ui/∂xik0		∂gj/∂yjk0

что не совпадает с дифференциальной характеристикой Парето-оптимальных состояний. В равновесии с налогами должно быть выполнено

tj = − ∂gj/∂aj , j. pk0 ∂gj/∂yjk0

Правило Пигу для оптимальных налогов имеет вид

tj	= − Xi I	∂u /∂a
		i	, j.
pk0		∂ui/∂xik0

Отсюда видно, что налоги Пигу одинаковы для всех производителей. С другой стороны, если в равновесии налоги определены этими соотношениями, то равновесие удовлетворяет дифференциальной характеристике Парето-оптимума, что при вогнутости функций полезности и производственных функций гарантирует Парето-оптимальность.

Цены экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями удовлетворяют соотношениям

qij = − ∂ui/∂a , i, j, pk0 ∂ui/∂xik0

то есть не зависят от производителя, который создает экстерналии. Другими словами, мы фактически имеем m рынков экстерналий по числу потребителей.

Если равновесие в экономике с налогами и равновесие в экономике с торговлей экстерналиями соответствуют одному и тому же состоянию экономики, то налоги и цены экстерналий связаны соотношениями

tj	= Xi I	qij	, j.
pk0		pk0
			4

10.7.1Задачи

/ 477. («Курение») Из двух соседей по комнате первый — некурящий, второй — курильщик. Функции полезности имеют вид:

u1 = ln(x1) − z2,

u2 = ln(x2) − 0,5z2 + 10z.

Здесь xi — количество денег на другие блага, z — количество выкуренных 2-м сигарет, ωi — начальные запасы денег.

(1)Предположим, что сигареты «бесплатные», т. е. производятся из денег с нулевыми издержками. Найти равновесие. Построить Парето-улучшение из равновесия (в дифференциалах). Найти Парето-границу.

(2)Пусть теперь сигареты стоят p (т. е. производятся по технологии с постоянной отдачей от масштаба). Найти равновесие и Парето-границу в зависимости от p. При каких значениях p равновесие оптимально?