15.3. Модель найма со скрытой информацией |
580 |
/ 638. [Tirole] Акционеры решают, какое жалование w назначить менеджеру компании. Прибыль без учета этого жалования, y, зависит от усилий менеджера, x, и случайного фактора («возмущения»), ξ : y = x + ξ . Предполагаем, что ξ — случайная величина, распределение которой не зависит от x, с носителем (−∞, +∞), имеющая нулевое математическое ожидание: E(ξ) = 0. Акционеры нейтральны к риску и максимизируют ожидаемую прибыль E(x+ξ −w). Менеджер имеет целевую функцию типа Неймана — Моргенштерна с элементарной функцией полезности вида u(x, w) = v(w −γx2), где γ — постоянный коэффициент, функция v(·) имеет положительную невозрастающую производную. Менеджер может найти себе работу преподавателя в бизнес-школе, где практически без усилий и риска ему гарантирована заработная плата w0 .
(i)Если акционеры наблюдают уровень усилий менеджера, то они могут найти такую схему оплаты, что менеджер выберет именно тот уровень усилий, какой им требуется. Предложите вариант такого контракта. Найдите оптимальный уровень усилий, то есть такой, который дает максимум ожидаемой прибыли, и при этом менеджер не откажется от контракта.
(ii)Пусть акционеры не могут наблюдать уровень усилий, им известна только величина прибыли y. Предположим, что используется линейная схема оплаты w(y) = a+by. Покажите, что уровень усилий, который выберет менеджер, не зависит от вида функции v(·). Найдите его как функцию коэффициентов a и b. (Поскольку носитель распределения ошибки не зависит от усилий менеджера, то производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.) Покажите, что если менеджеру остается вся прибыль за исключением некоторой постоянной величины, то есть b = 1, то он выберет тот уровень усилий, который оптимален в ситуации (i).
(iii)Запишите функцию Лагранжа и найдите условия первого порядка для задачи выбора оптимального линейного контракта. Покажите, что если менеджер нейтрален к риску, то акционеры выберут b = 1. Докажите, что если производная функции v(·) убывает (т. е. менеджер является рискофобом), то в оптимальном контракте 0 < b < 1, то есть это нечто среднее между ситуацией, когда весь риск берут на себя акционеры (b = 0) и ситуацией, когда весь риск берет на себя менеджер (b = 1). (Подсказка: Воспользуйтесь тем, что если f(·) — возрастающая функция ξ , то ковариация Cov(f(ξ), ξ) = E(f(ξ)ξ) неотрицательна, и наоборот, если f(·) — убывающая функция ξ , то эта ковариация неположительна).
15.3Модель найма со скрытой информацией
В этом параграфе мы будем исходить из того, что уровень усилий является наблюдаемой величиной, но наниматель не владеет в полной мере информацией о характеристиках работника. Это так называемые модели найма со скрытой информацией. В подобных моделях можно предполагать, что нанимателю неизвестны, например, полезность работника от оплаты по контракту, продуктивность усилий, тягость разных усилий, резервная полезность и т. д. Поскольку усилия наблюдаемы, оплата по контракту w(·) может быть обусловлена уровнем усилий, что и предполагается в дальнейшем в этом параграфе.
Будем предполагать, что на рынке труда представлены работники нескольких типов θ Θ, причем наниматель не может их различить. При этом на множестве Θ задано (тем или иным способом) распределение вероятностей, известное потенциальным нанимателям. В случае, если множество Θ конечно, это распределение можно характеризовать перечислением вероятностей µθ встретить работника типа θ. В дальнейшем будем считать, что при этом µθ > 0 θ.
Предположим, что результат усилий x X работника — доход y(x), возрастающая вогнутая функция уровня усилий. Наниматель максимизирует свою прибыль
y(x) − w(x),
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
581 |
где w(x) — оплата уровня усилий x работника. Коль скоро доход y(x) — строго монотонная функция усилий, то можно измерять уровень усилий непосредственно величиной ожидаемого дохода. Таким образом, без ограничения общности будем считать, что уровень усилий измеряется величиной ожидаемого дохода, т. е. y(x) = x.
В дальнейшем будем считать (хотя это, возможно, не вполне адекватно описывает реальные условия найма9), что от того, был ли нанят и на каких условиях один работник, не влияет на то, имеется ли возможность нанять других работников, и какова будет их производительность. Это предположение позволяет рассматривать каждый акт найма обособленно (как самостоятельную игру нанимателя с данным работником).
При таком предположении если работник типа θ осуществляет усилия xθ , то с точки зрения нанимателя доход в расчете на одного работника (и, что то же самое, усилия) — это случайная величина, принимающая значение xθ с вероятностью µθ . Таким образом, ожидаемая прибыль нанимателя в расчете на одного работника равна:
E(xθ − w(xθ)),
где ожидание берется по распределению типов. В частном случае конечного числа (n) типов
она считается по формуле
n
X
µθ(xθ − w(xθ)),
θ=1
???Почему такая прибыль?
Предполагаем, что функция полезности работника любого типа сепарабельна по деньгам и усилиям:
uθ(x, w) = vθ(w) − cθ(x),
где, как и ранее, vθ(w) — полезность оплаты w, а cθ(x) — тягость усилий x для работника типа θ. Мы будем предполагать, что vθ(w) — возрастающая вогнутая функция, а cθ(x) — возрастающая выпуклая функция. Разные типы работников характеризуются разной формой функций vθ(w) и cθ(x).
Для упрощения анализа предположим, более конкретно, что vθ(w) = w.
Пусть xθ — усилия, которые, как планирует наниматель, должен осуществлять работник типа θ, а wθ — соответствующая зарплата. Пары (xθ, wθ) будем называть пакетами. Удобно начать изучение модели найма со скрытой информацией с задачи поиска оптимального набора (или, как часто говорят, меню) пакетов, по одному на каждый тип работника, а не с анализа нахождения оптимального контракта w(x), который бы специфицировал плату при каждом возможном уровне усилий работника. Оказывается, и это будет продемонстрировано в дальнейшем, что при таком упрощении модели мы, фактически, ничего не теряем.
15.3.1Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов
Рассмотрим сначала случай найма с единственным нанимателем. При этом предположим, что каждый тип работников характеризуется уровнем резервной полезности u0θ , заданной экзогенно. (Если предложенный ему контракт обеспечивает полезность ниже величины u0θ , работник отказывается его подписывать.) Нормируя функции издержек (добавляя к «первоначальным» функциям величины u0θ), будем считать, что все u0θ равны нулю.
Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с неполной информацией. Опишем последовательность ходов в этой игре:
0. «Природа» выбирает тип работника θ Θ.
9В частности, обычно количество вакансий ограничено и существует конкуренция среди соискателей этих вакансий.
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
582 |
1.Наниматель, не зная типа, предлагает работнику меню контрактов — пакеты (xθ, wθ),
θΘ.
2.Работник (зная свой тип) выбирает одну из возможных альтернатив: либо не подписывать контракт, либо подписать контракт, выбрав какой-то из предложенных пакетов.
Выигрыши нанимателя и работника в случае подписания контракта вычисляются в соответствии с условиями контракта. (Это подразумевает, что условия подписанного контракта не могут пересматриваться, и этот факт является общеизвестным??? - дополнение пришлет В.П.) В дальнейшем мы поясним, что это условие является существенным для анализа игры).
Мы, как обычно, будем предполагать благожелательное поведение работника по отношению к хозяину. Будем предполагать также, что пакеты правильно маркированы: (xθ, wθ) — пакет, который добровольно выбирает работник типа θ. Это позволяет описать выбор оптимальных пакетов задачей максимизации ожидаемой прибыли нанимателя при ограничениях двух типов, следующих из предположения о рациональном поведении работников: (1) работнику каждого из типов должно быть выгодно подписать контракт (условия участия), (2) работнику типа θ должно быть выгодно выбрать предназначенный для него пакет (условия совместимости стимулов). Условия совместимости стимулов, называют в данном случае также условиями самовыявления, поскольку они фактически требуют, чтобы пакеты были выбраны так, чтобы происходило добровольное выявление типа работника.
Таким образом, следует рассмотреть следующую задачу:
E Π = E(xθ − wθ) → max
wθ,xθ
wθ − cθ(xθ) > wϕ − cθ(xϕ), θ, ϕ Θ, wθ − cθ(xθ) > 0, θ Θ.
Поскольку в оптимальном решении некоторые из типов работников могут не подписать контракт, то работников таких типов следует исключить из рассмотрения, дополнив указанную задачу ограничениями неучастия. Следует провести перебор по подмножествам множества типов работников, разделяя их на тех, кто подписывает контракт, и тех, кто его не подписывает, и выбрать тот вариант, который дает наибольшую ожидаемую прибыль.
Модель найма со скрытой информацией при двух типах работников
Прежде, чем анализировать более общие случаи, проведем анализ простого частного случая, когда встречаются только работники двух типов: θ = 1, 2. Вероятность появления работника 1-го типа на рынке труда равна µ1 , а 2-го — µ2 . Будем предполагать, что работник первого типа более способный, т. е. один и тот же объем работ он выполняет с меньшими усилиями и, кроме того, производство дополнительной единицы продукции требует от него меньших издержек:
c2(x) > c1(x)
и
c02(x) > c01(x) x.
Последнее неравенство означает, что разность d(x) = c2(x) − c1(x) возрастает по x. Заметим, что для справедливости почти всех приведенных ниже результатов достаточно выполнения этого условия (а не условия на производные этих функций).
Для каждой из категорий работников θ {1, 2} предназначается своя пара усилия — зарплата, т. е. пакет (xθ, wθ).
Если бы наниматель мог различать работников, тогда он выбрал бы «идеальные» пакеты (ˆxθ, wˆθ), которые рассматривались выше для случая полной информации.
«Идеальные» уровни усилий xˆθ находились бы из условия максимизации прибыли, соответствующей сделке с работником каждого типа. При этом единственным ограничением для
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
583 |
нанимателя было бы условие участия. В оптимуме это ограничение должно выполняться как равенство: wθ = cθ(xθ). Подставим это равенство в функцию прибыли:
x − cθ(x) → max
x X
Сделанные выше предположения относительно функций издержек гарантируют, что xˆ1 > xˆ2 . Покажем это. Из того, что xˆ1 и xˆ2 являются решениями соответствующих задач, следует, что
xˆ1 − c1(ˆx1) > xˆ2 − c1(ˆx2)
и
xˆ2 − c2(ˆx2) > xˆ1 − c2(ˆx1).
Складывая эти неравенства, получаем
c2(ˆx1) − c1(ˆx1) > c2(ˆx2) − c1(ˆx2),
и
d(ˆx1) > d(ˆx2).
Неравенство xˆ1 > xˆ2 следует из возрастания функции d(x). Выполнение строгого неравенства
можно гарантировать при дифференцируемости функций издержек в предположении, что c02(x) > c01(x) x.
Если функции издержек дифференцируемы, то условие первого порядка внутреннего максимума выглядит следующим образом (см. Рис. 15.14):
c0θ(ˆxθ) = 1.
Оплата wˆi выбирается так, чтобы в точности компенсировать работнику издержки его усилий, т. е.
wˆθ = cθ(ˆxθ).
Сказанное иллюстрирует Рис. 15.14. Оплата wˆ1 работника 1-го типа равна сумме площадей фигур A и B и величины c1(0), а оплата wˆ2 работника 2-го типа — A + C + c2(0).
c02(x)
c01(x)
1
B
C
A |
x |
xˆ2 xˆ1
Рис. 15.14. Идеальная оплата при полной информации
Поскольку наниматель не может отличать тип работников, то требуется, чтобы произошло их самовыявление, то есть, чтобы работник каждого типа выбрал именно тот пакет, который
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
585 |
w¯2 − c2(¯x2) = 0,
откуда w¯2 = c2(¯x2), w¯1 = c1(¯x1) + c2(¯x2) − c1(¯x2),
Подставляя эти значения в ограничение участия для работника второго типа, получим
c2(¯x2) − c2(¯x2) > c2(¯x2) − c1(¯x2) + c1(¯x1) − c2(¯x1),
или
d(¯x1) > d(¯x2).
Выполнение последнего неравенства гарантируют предположения относительно функций издержек (d(x) — возрастающая функция) и установленное выше соотношение x1 > x2 . Таким образом, в оптимальном решении задачи выполнение условия участия работников 2-го типа является следствием двух полученных выше равенств.
Подставив w¯1 и w¯2 в целевую функцию задачи, получим следующую задачу для выбора x¯1 и x¯2 :
µ1(x1 |
− c2(x2) + c1(x2) − c1(x1)) + µ2(x2 |
− c2 |
max |
||
(x2)) → x1,x2 |
|
X |
|||
|
|
|
|
|
|
x1 > x2.
Сначала мы найдем решение соответствующей задачи безусловной оптимизации (не учитывая ограничения x1 > x2 ), а затем покажем, что это ограничение выполняется в полученном решении, и поэтому несущественно.
Поскольку µ1 > 0 и µ2 > 0, то без ограничения монотонности уровней усилий, x1 > x2 , задача, фактически, распадается на две задачи, одна — для выбора x¯1 , другая — для выбора x¯2
x1 |
− c1 |
max |
||||
(x1) → x1 |
|
X . |
||||
|
µ1 |
|
|
|
||
x2 − c2(x2) − |
|
|
|
max . |
||
|
|
|
|
|
||
µ2 (c2(x2) − c1(x2)) → x2 X |
||||||
Первая задача имеет тот же вид, что и задача определения оптимального уровня усилий (xˆ1 ) в условиях, когда типы работников наблюдаемы. Следовательно, множества решений этих двух задач совпадают. Для 2-го типа задача отличается от задачи поиска xˆ2 тем, что к функции
издержек добавляется неотрицательная возрастающая функция µ1 (c2(x2) − c1(x2)). Поэтому
µ2
решения двух задач, вообще говоря, различны, причем если xˆ2 и x¯2 — решения этих задач, то xˆ2 > x¯2 . Действительно, по определению xˆ2
|
|
xˆ2 − c2(ˆx2) > x¯2 − c2(¯x2), |
|
|
а по определению x¯2 |
|
|
|
|
x¯2 − c2(¯x2) − |
µ1 |
(c2(¯x2) − c1(¯x2)) > xˆ2 − c2(ˆx2) − |
µ1 |
(c2(ˆx2) − c1(ˆx2)). |
µ2 |
µ2 |
Сложив эти неравенства, получим
c2(ˆx2) − c1(ˆx2) > c2(¯x2) − c1(¯x2)
или
d(ˆx2) > d(¯x2),
откуда следует требуемое неравенство.
Таким образом, если x¯1 , x¯2 , xˆ2 — решения соответствующих задач, то имеет место неравенство x¯1 > xˆ2 > x¯2 . Таким образом, ограничение x1 > x2 выполняется для любого решения задачи и поэтому несущественно.
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
586 |
Заметим, что при дифференцируемости функций для любой пары внутренних оптимальных пакетов выполнено строгое неравенство x¯1 > x¯2 при условии, что c02(x) > c01(x) x. Мы покажем это ниже.
Условия первого порядка для внутренних решений x¯1, x¯2 при дифференцируемости функций издержек имеют вид:
c01(¯x1) = 1,
c02(¯x2) = 1 − µ1 [c02(¯x2) − c01(¯x2)]. µ2
Поскольку c02(x) > c01(x), то c02(¯x2) < 1. Это означает, что x¯2 6= xˆ2 , где xˆ2 — оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Поскольку x¯2 6 xˆ2 , то это означает, что усилия,
осуществляемые работником 2-го типа, неоптимально низки (x¯2 < xˆ2 ).
Поскольку x¯1 — оптимальный уровень усилий для работника 1-го типа, то x¯1 > xˆ2 , где если xˆ2 — оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Получаем цепочку неравенств x¯1 > xˆ2 > x¯2 .
Строгая выпуклость функций издержек cθ(·) гарантирует единственность решений задач определения оптимальных уровней усилий xˆ1 и xˆ2 в ситуации симметричной информированности и достаточность условий первого порядка. То же самое справедливо и для задачи определения величины оптимального уровня усилий x¯1 для случая асимметричной информированности. Аналогичные свойства задачи определения уровня усилий x¯2 можно гарантировать лишь при дополнительных условиях, например, при выпуклости функции c2(x) − c1(x)( монотонности функции c02(x) − c01(x)). При этом
xˆ1 = x¯1 > xˆ2 > x¯2.
Таким образом, для работника 2-го типа приходится планировать меньшую величину усилий, чтобы понизить оплату работника 1-го типа.
Рис. 15.15 иллюстрирует сделанные нами выводы.
c02(x)
c01(x)
1
x
x¯2 |
xˆ2 |
x¯1=ˆx1 |
Рис. 15.15.
Поскольку, как мы предполагаем, решение внутреннее, то c2(¯x2) > c1(¯x2), откуда
w¯1 − c1(¯x1) = w¯2 − c1(¯x2) > w¯2 − c2(¯x2) = 0
Таким образом, работник 2-го типа при этом всегда получает лишь резервную полезность (его излишек равен нулю), а первый — несколько больше своей резервной полезности. То есть наличие на рынке менее производительных работников и невозможность их отличить приводит к тому, что более производительный работник при условии, что выгодно нанимать менее производительных работников, получает так называемую информационную ренту.
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
587 |
Проиллюстрируем это графически (Рис. 15.16). На рисунке OA — прибыль от контракта
сработником 2-го типа, OB — прибыль от идеального контракта с работником 2-го типа, OC — прибыль от контракта с работником 1-го типа, OD — прибыль от идеального контракта
сработником 1-го типа.
Заштрихованная область соответствует пакетам (x2, w2), обеспечивающим Парето-улуч- шение. Пакеты в этой области не могут быть реализованы из-за необходимости обеспечить выполнение условия самовыявления для работников 1-го типа.
|
|
c2(x) |
|
|
w¯1 |
|
|
|
|
wˆ1 |
|
|
|
|
wˆ2 |
|
|
|
|
w¯2 |
|
c1 |
(x) |
x |
|
|
|||
O |
x¯2 |
xˆ2 |
x¯1=ˆx1 |
|
A |
|
c1(x1)+c2 |
(¯x2)−c1(¯x2) |
|
B |
|
|||
C
D
Рис. 15.16.
Пример 81:
Для функций издержек
c1(x) = 0,5x2, c2(x) = x2,
и множества возможных усилий X = R+ решая задачу
µ (x |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
max . |
|||
1 1 |
− x2 |
+ 0,5x2 − 0,5x1) + µ2(x2 |
− x2) → x1,x2 |
||||||||
получим |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
x¯1 = 1, x¯2 = |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 + µ1/µ2 |
|
|
|||||||
При этом уровни оплаты будут равны: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
w¯1 = 0,5¯x22 + 0,5¯x12 = |
1 |
|
|
+ 0,5, |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
2(2 + µ1/µ2)2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
w¯2 = x¯22 = |
|
1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(2 + µ1/µ2)2 |
|
|
|
||||||
Работник второго типа будет производить меньше эффективного уровня xˆ2 = 0,5. Совпадение возможно только если µ1 = 0, µ2 = 1.
Информационная рента работника 1-го типа равна
w¯1 − 0,5¯x12 = |
1 |
> 0. |
|
2(2 + µ1/µ2)2 |
4 |
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
589 |
Напомним, что составление оптимального контракта сводится к решению следующей зада-
чи
θX |
|
max |
|
µθ(xθ − wθ) → wθ,xθ |
|
Θ |
(]) |
wθ − cθ(xθ) > wϕ − cθ(xϕ), θ, ϕ Θ, |
|
wθ − cθ(xθ) > 0, θ Θ. |
|
Если указанные условия упорядоченности издержек выполнены, то можно доказать важный результат: цепное правило. Он состоит в том, что можно заменить задачу (]) эквивалентной задачей:
θX |
|
max |
|
µθ(xθ − wθ) → wθ,xθ |
|
Θ |
(_) |
wθ − cθ(xθ) = wθ+1 − cθ(xθ+1), θ < n, |
|
wn − cn(xn) = 0, |
|
xθ > xθ+1, θ < n. |
|
Это означает, что наниматель выберет контракт, обладающий следующими свойствами:
1)Чем большей производительностью отличается работник, тем большие он осуществляет усилия (условие упорядоченности уровней усилий xθ ).
2)Не требуется следить, чтобы работник типа θ (θ < n) не выбирал пакет, предназначенный для работника типа θ + k при k > 1, достаточно гарантировать, чтобы это было выполнено для k = 1. Ограничение участия достаточно обеспечить для работника типа θ = n.
3)При максимизации прибыли указанные ограничения следует вывести на равенство. А именно, работник типа θ (θ < n) должен быть безразличен при выборе между пакетом (wθ, xθ)
ипакетом (wθ+1, xθ+1), а работник типа θ = n должен быть безразличен при решении о подписании контракта.
Вследующей теореме мы последовательно покажем, что оптимальные пакеты характеризуются этими свойствами, и, тем самым, покажем эквивалентность двух задач.
Теорема 149:
Если выполнено условие упорядоченности издержек, то задача (]) эквивалентна задаче (_). 
Доказательство: 1) Пусть пакеты {wθ, xθ} удовлетворяют ограничениям задачи (]). Покажем, что уровни усилий упорядочены.
Рассмотрим два произвольных типа θ, ϕ Θ, таких что θ > ϕ. Для этих типов выполнены условия самовыявления:
wθ − cθ(xθ) > wϕ − cθ(xϕ),
wϕ − cϕ(xϕ) > wθ − cϕ(xθ).
Сложив два неравенства, получим
cθ(xϕ) − cϕ(xϕ) > cθ(xθ) − cϕ(xθ).
Поскольку cθ(x) − cϕ(x) возрастает, то отсюда следует, что xϕ > xθ .
2) Докажем, что если для работника любого типа θ < n пакет (wθ, xθ) не хуже, чем пакет (wθ+1, xθ+1), то, как следствие, для работника любого типа θ < n пакет (wθ, xθ) не хуже, чем любой пакет (wθ+k, xθ+k), k > 1 (k 6 n − θ).
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
590 |
Докажем это утверждение по индукции. При k = 1 оно верно по предположению. Предположим теперь, что оно верно для некоторого фиксированного k и покажем, что оно также верно и для k + 1.
Поскольку
wθ − cθ(xθ) > wθ+k − cθ(xθ+k),
и
wθ+k − cθ+k(xθ+k) > wθ+k+1 − cθ+k(xθ+k+1),
откуда
wθ − cθ(xθ) > wθ+k+1 − cθ(xθ+k) + cθ+k(xθ+k) − cθ+k(xθ+k+1).
Поскольку, как мы только что доказали, xθ+k > xθ+k+1 , а функция cθ+k(x) −cθ(x) возрастает, то
cθ+k(xθ+k) − cθ(xθ+k) > cθ+k(xθ+k+1) − cθ(xθ+k+1),
и, следовательно,
wθ − cθ(xθ) > wθ+k+1 − cθ(xθ+k+1)
Мы показали, что часть ограничений самовыявления избыточна. Покажем теперь, что из ограничения самовыявления для θ и θ +1 и ограничения участия для θ = n следуют ограничения участия для θ < n, поэтому они также избыточны. Действительно, из
wθ − cθ(xθ) > wθ+1 − cθ(xθ+1),
и
wθ+1 − cθ+1(xθ+1) > 0,
при выполнении предположения об упорядоченности издержек следует
wθ − cθ(xθ) > 0.
3) В решении задачи (]) строгое неравенство
wθ − cθ(xθ) > wθ+1 − cθ(xθ+1), θ < n,
невозможно. Если бы выполнялось такое неравенство, то, как следует из только что доказанного, мы могли бы уменьшить все wϕ, ϕ > θ, на величину соответствующей невязки, не нарушая ни одного ограничения задачи (все ограничения, которые могли бы быть нарушены при таком сдвиге, являются избыточными, то есть выполняются автоматически). Но тем самым, мы увеличили бы прибыль, что невозможно.
Аналогично, если бы
wn − cn(xn) > 0,
то возможно было бы уменьшить wn до cn(xn), не нарушая ни одного ограничения задачи. Таким образом, оптимальное решение задачи (]) удовлетворяет всем ограничениям задачи
(_).
4) Для доказательства теоремы осталось показать, что если пакеты {wθ, xθ} удовлетворяет ограничениям задачи (_), то они удовлетворяют всем ограничениям задачи (]).
Достаточно проверить ограничения самовыявления для θ, ϕ при θ > ϕ и ограничение участия для n, поскольку, как мы уже показали, остальные ограничения избыточны. Ограничение участия для работника типа n в задаче (_) выполнено.
Докажем выполнение указанных ограничений самовыявления по индукции. Зафиксируем θ. При θ = ϕ ограничение выполнено. Пусть оно выполнено при некотором заданном ϕ (θ > ϕ)). Докажем, что оно выполнено и при ϕ − 1.
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
592 |
Объединяя слагаемые, являющиеся функциями от xθ , получим эквивалентную запись этой задачи:
X
[µθ(xθ − cθ(xθ)) − Mθ−1(cθ(xθ) − cθ−1(xθ))] → max
θ Θ
xθ
xθ > xθ+1, θ < n.
где мы ввели обозначение
Mθ = µ1 + · · · + µθ.
Поскольку целевая функция задачи сепарабельна по {xθ}, то в ситуации, когда ограничения монотонности усилий по типу xθ > xθ+1 несущественны, ее решение распадается на n
независимых друг от друга задач: |
|
|
x − cθ(x) − |
Mθ−1 |
max . |
µθ |
(cθ(x) − cθ−1(x)) → x X |
Как мы видели, для случая 2 типов решения соответствующих задач x¯1, x¯2 всегда удовлетворяют условию x¯1 > x¯2 , однако в общем случае такого распадения задачи может не быть. Следующий пример показывает, что в случае 3 типов работников ограничение xθ > xθ+1 может стать активным.
Пример 82:
Пусть на рынке труда, в дополнение к 2 типам работников, рассмотренным в Примере 81, с функциями издержек
c1(x) = 0,5x2, c2(x) = x2,
имеются также работники 3-го типа с функцией издержек
c3(x) = 1,5x2.
Решение задачи
x − c3(x) − µ1 + µ2 (c3(x) − c2(x)) → max
µ3
имеет вид:
1
x¯3 = 3 + (µ1 + µ2)/µ3 .
Если доля работников 2-го типа, µ2 , мала, то решение аналогичной задачи для работника 2-го типа может оказаться ниже:
1 |
< |
1 |
, |
2 + µ1/µ2 |
3 + (µ1 + µ2)/µ3 |
то есть разделяющий контракт не будет оптимальным. Это происходит при µ2 < µ1µ3 . Например, при µ1 = 3/8, µ2 = 1/8, µ3 = 1/2 получим x¯2 = 1/5 и x¯3 = 1/4.
Чтобы получить уровни усилий, которые определяют оптимальный контракт в этом случае, следует решить задачу
µ2(x − c2(x)) − µ1(c2(x) − c1(x)) +
+ µ3(x − c3(x)) − (µ1 + µ2)(c3(x) − c2(x)) → max
или
x2
(µ2 + µ3)x − (2 + µ2 + µ3) 2 → max
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
|
|
|
|
|
593 |
|||||
откуда получаем следующие параметры объединяющего контракта: |
|||||||||||
|
x¯2 = x¯3 = |
µ2 + µ3 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 + µ2 + µ3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
w¯2 |
= w¯3 = c3(¯x3) = 1,5 2 +2µ2 |
+3µ3 ! |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
µ + µ |
|
|
|
|
|
|||
Как и в Примере 81 x¯1 = 1, однако оплата будет другая: |
|
|
|
|
|
|
|||||
w¯1 = w¯2 |
+ c1(¯x1) − c1(¯x2) = 0,5 + 2 +2µ2 |
+3µ3 ! |
2 |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
µ + µ |
|
|
|||
При µ1 = 3/8, µ2 = 1/8, µ3 = 1/2 получим x¯2 = x¯3 = 5/21.
Записав для полной задачи, включающей ограничение x2 > x3 , функцию Лагранжа и приравняв к нулю ее производные в найденном решении, можно убедится, что множитель Лагранжа для данного ограничения равен
µ3µ1 − µ2 |
. |
|
|
2 |
+ µ2 + µ3 |
|
|
Таким образом, ограничение активно при |
µ2 < µ1µ3 . |
4 |
|
c3(x) |
c1(x) |
|
c2(x) |
w¯1 |
|
w¯2=w¯3 |
x |
|
|
|
x¯1 |
Рис. 15.18. Пакеты, соответствующие объединяющему контракту для 3 типов работников
Оптимальные контракты можно разделить на два класса: Разделяющие контракты: x¯θ > x¯θ+1 θ — все типы себя выявляют.
Объединяющие контракты: θ: x¯θ = x¯θ+1 , w¯θ = w¯θ+1 — существуют кластеры (эффект группирования типов (bunching)). Работники нескольких разных типов делают одинаковые усилия и получают одинаковую зарплату. Таким образом, рассмотренный пример описывает случай группирования второго и третьего типа, т. е. случай (частично) объединяющего контракта.
При дополнительных предположениях о поведении функций издержек в зависимости от типа и усилий работника, а также формы функции распределения типов можно гарантировать, что оптимальный контракт является разделяющим.
Обозначим, как и выше,
dθ(x) = cθ+1(x) − cθ(x).
Мы предположили, что dθ(x) — возрастающие функции. Предположим дополнительно, что dθ+1(x) − dθ(x) — тоже возрастающие функции.
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
594 |
В этом случае задача ( ) эквивалентна следующей (получаемой из нее удалением ограни-
чений монотонности |
усилий x |
θ > |
x |
): |
|
_ |
θ+1 |
|
|
||
|
|
|
θX |
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
µθ(xθ − wθ) → wθ,xθ |
|
|
|
|
Θ |
(^) |
|
|
wθ − cθ(xθ) = wθ+1 − cθ(xθ+1), θ < n, |
||||
|
|
|
|
wn − cn(xn) = 0. |
|
Таким образом, в этом случае задача составления оптимальных пакетов сводится к решению последовательности n независимых задач.
Теорема 150:
Предположим, что dθ(x) и dθ+1(x) − dθ(x) возрастают по x θ и |
Mθ−1 |
возрастает по θ. |
|
µθ |
|||
Тогда задачи (^) и (_) эквивалентны. |
|
|
|
Доказательство: Для доказательства утверждения достаточно показать, что решения {x¯θ} задач
Πθ(x) = x − cθ(x) − Mθ−1 dθ−1(x) → max .
µθ x X
удовлетворяют опущенным ограничениям (монотонности).
Поскольку x¯θ максимизирует Πθ(x), а x¯θ+1 максимизирует Πθ+1(x), то выполняются нера-
венства |
|
|
Πθ(¯xθ) > Πθ(¯xθ+1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
Πθ+1(¯xθ+1) > Πθ+1(¯xθ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сложив эти неравенства, после преобразований получим: |
! dθ(¯xθ) > |
|||||||||||||||
|
|
µθ |
|
[dθ(¯xθ) − dθ−1(¯xθ)] + 1 + |
µθ+1 − |
|
µθ |
|||||||||
|
Mθ−1 |
|
|
|
Mθ |
Mθ−1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! dθ(¯xθ+1). |
|
> µθ |
[dθ(¯xθ+1) − dθ−1(¯xθ+1)] + 1 + µθ+1 |
− |
µθ |
|||||||||||||
|
Mθ−1 |
|
|
|
|
|
Mθ |
|
|
Mθ−1 |
|
|||||
Поскольку в предположениях теоремы функция |
|
|
|
|
! dθ(x) |
|||||||||||
|
|
|
|
µθ |
[dθ(x) − dθ−1(x)] + 1 + |
|
µθ+1 − |
|
µθ |
|
||||||
|
|
|
Mθ−1 |
|
|
Mθ |
|
Mθ−1 |
|
|||||||
является возрастающей, то x¯θ > x¯θ+1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если к сделанным предположением добавить предположение о дифференцируемости функций, то можно доказать, что x¯θ > x¯θ+1 для внутренних решений. По условиям первого порядка
|
|
|
|
|
|
Π0 (¯x |
) = 1 |
− |
c0 (¯x |
) |
− |
Mθ−1 |
d0 |
|
|
(¯x |
) = 0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
θ θ |
|
|
θ |
θ |
|
|
µθ |
|
|
|
|
θ−1 |
|
|
θ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mθ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Πθ0 +1(¯xθ+1) = 1 − cθ0 +1(¯xθ+1) − |
|
|
|
dθ0 (¯xθ+1) = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
µθ+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
Пусть x¯θ = x¯θ+1 = x¯. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Π0 |
(¯x) |
− |
Π0 (¯x) = c0 |
(¯x) |
− |
c0 (¯x) + |
|
Mθ |
d0 (¯x) |
− |
Mθ−1 |
d0 |
(¯x) = 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
θ+1 |
|
|
θ |
θ+1 |
|
|
θ |
|
|
|
|
µθ+1 |
θ |
|
|
µθ θ−1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Mθ |
Mθ−1 |
|
|
|
|
Mθ−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 + |
|
|
− |
|
|
! dθ0 (¯x) + |
|
|
|
(dθ0 (¯x) − dθ0 −1(¯x)) = 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
µθ+1 |
µθ |
|
|
µθ |
|
|||||||||||||||||||||||
Поскольку |
Mθ |
> |
Mθ−1 |
, d0 (¯x) > 0, и |
d0 |
(¯x) |
− |
d0 |
|
|
(¯x) |
> |
0, то левая часть положительна. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
µθ+1 |
µθ |
|
θ |
|
|
|
θ |
|
|
θ−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Получили противоречие, т. е. x¯θ 6= x¯θ+1 .