11.2. Квазилинейная экономика с общественными благами				393
1-й потребитель		2-й потребитель		кривая
x1			производственных
			y1	возможностей
xˆ1			yˆ1
			u2=ˆu2
			u2=ˆu2
xˆ21	x21	xˆ22	x22	yˆ2+ω2Σ y2+ω2Σ

Рис. 11.1. Иллюстрация условий Парето-оптимальности для экономики с общественным благом

11.1.1Задачи

/ 489. Уравнение Самуэльсона связывает . . .

а) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в производстве;

б) норму замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены в производстве;

в) норму замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в производстве;

г) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены в производстве.

11.2Квазилинейная экономика с общественными благами

Особенно простым анализ экономики с общественными благами становится при квазилинейности функций полезности. Это соответствует анализу частного равновесия, который проводится в начальных курсах микроэкономики.

Будем предполагать, что в экономике два блага, одно из которых общественное, а другое — частное, причем

X(1) R+ и Xi(2) = R i,

а предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями полезности:

ui(x, zi) = vi(x) + zi,

где x — объем потребления общественного блага (он равен объему производства y), а zi — объем потребления частного блага (который можно интерпретировать как объем потребления всей совокупности частных благ). Поскольку предпочтения линейны по zi , последнее удобно считать денежной стоимостью частных благ.

Производственные возможности экономики описываются функцией издержек c(y), (обратной к производственной функции), которая показывает минимальное количество частного блага, r, необходимое для производства y единиц общественного блага.

В дальнейшем будем различать два случая. Первый— ситуация, когда общественное благо может производится и потребляться в любом количестве, является безгранично делимым, («непрерывный» случай), функции полезности и издержек — дифференцируемы. Второй — ситуация, когда производитель и (или) потребитель может выбирать лишь из конечного числа

11.2. Квазилинейная экономика с общественными благами

394

вариантов, как правило двух («производить — не производить», «потреблять — не потреблять»). Этот случай будем называть «дискретным».

Рассмотрим сначала непрерывный случай. Для него уравнение Самуэльсона имеет вид:

X vi0(ˆx) = c0(ˆx).

i I

Это соотношение можно установить независимо на основе характеристики Парето-опти- мальных состояний квазилинейной экономики. Действительно, как было установлено ранее, Парето-оптимальное состояние квазилинейной экономики полностью характеризуется задачей максимизации индикатора благосостояния. Для рассматриваемой экономики эта задача имеет следующий вид:

X

W (x) = vi(x) − c(x) → max .

i I

x>0

Таким образом, в этой экономике Парето-оптимальные состояния характеризуются объемом производства общественного блага, максимизирующим благосостояние, xˆ. Этот объем естественно назвать Парето-оптимальным объемом общественного блага. Если предельные полезности vi0(x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c0(y) положительны и не убывают, то такой объем будет единственным.

Для Парето-оптимального объема общественного блага выполняется соотношение:

X vi0(ˆx) 6 c0(ˆx),

i I

причем, если общественное благо производится, т. е. yˆ > 0, то

X vi0(ˆx) = c0(ˆx),

i I

В дальнейшем мы будем считать, что xˆ > 0.

Заметим, что в случае, когда первое благо — частное, условия Парето-оптимальности его производства и потребления имеют вид (случай, когда xi > 0 i):

vi0(ˆxi) = c0(ˆy), i, X xˆi = yˆ.

i I

Указанное различие можно проиллюстрировать следующим примером. Сравним, как принимаются решения в случае приобретения одного и того же блага (например, телевизора) в личное (частное благо) и коллективное пользование (общественное благо). В первом случае телевизор приобретается только в том случае, если цена не выше оценки телевизора для покупателя. Если же телевизор устанавливается в холле студенческого общежития, то решение о его приобретении должно приниматься уже на основе сравнения его цены и суммы оценок этого блага всеми студентами, живущими в общежитии.

Этот пример уместнее проанализировать в контексте второй ситуации, поскольку рассматриваемое благо (телевизор) либо производится (и приобретается), т. е. x = 1 (при соответствующем выборе единиц измерения), либо нет, т. е. x = 0.

Будем предполагать без потери общности, что vi(0) = 0, c(0) = 0, и обозначим vi(1) = vi и c(1) = c. Тогда

			W (0) = 0 и W (1) =	Xi I	vi − c.
Поэтому xˆ = 0, если			i I vi < c и xˆ = 1, если	i I vi > c. В случае, когда		i I vi =
c	, задача имеет два	решения, поэтому оптимальным является любое решение относительно
		P	P			P

объема производства общественного блага.