s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s |
|
|
|
Глава |
|
|
Модели найма |
|
|
|
15 |
Модели с неполной и неодинаковой информированностью экономических субъектов о характере сделки, свойствах обмениваемых благ, их воздействиях друг с другом и др. довольно многообразны. ?? О них мы уже говорили ...
В этой главе мы разберем ситуацию взаимодействия двух экономических субъектов: нанимателя (заказчика, владельца, начальника), и нанимаемого работника (подрядчика, менеджера, подчиненного), известную под названием Principal-Agent problem.
15.1Модель с полной информацией
Рассмотрим сначала модель найма, в которой участники сделки полностью информированы обо всех ее характеристиках (ее условиях, результатах).
В этой модели наниматель владеет неким «фактором производства», позволяющим получать доход (добавленную стоимость) величиной y = y(x), если уровень усилий работника составляет величину x X , где X — множество возможных усилий (действий). Обычно предполагается, что функция y(·) является возрастающей и вогнутой, что означает, что доход возрастает с уровнем усилий, но с «убывающей отдачей». В предположении дифференцируемости функции y(·) это означает, что y0(x) > 0, x X и y0(·) убывает.
Для стимулирования усилий работника наниматель выбирает схему оплаты w(·) в зависимости от некоторого наблюдаемого им сигнала о величине таких усилий. Схему оплаты w(·) называют также контрактом.
При этом, выбирая контракт, наниматель максимизирует остаточный доход, то есть разность между создаваемым работником доходом y и вознаграждением w. Будем называть эту величину прибылью нанимателя:
Π = y(x) − w.
Естественно предполагать, что полезность работника в результате работы по найму зависит от уровня усилий и от величины оплаты, т. е. u = u(x, w). Для упрощения анализа будем предполагать, что эта функция является сепарабельной:
u(x, w) = v(w) − c(x),
где v(w) — полезность от зарплаты w, а c(x) — тягость усилий x. Будем предполагать, что v(·) — возрастающая вогнутая функция, c(·) — возрастающая выпуклая функция. Если эти функции дифференцируемы, то приведенные условия модифицируются следующим образом: v0(x) > 0, v0(·) убывает (убывающая предельная полезность), c0(x) > 0 и c0(·) возрастает (возрастающая предельная тягость усилий).
Предположим сначала, что работник характеризуется резервной полезностью u0 . Это полезность альтернативной занятости, и работник не согласится на работу по контракту, если его полезность окажется меньше u0 . (Мы будем предполагать, что когда u = u0 , работник соглашается на данную работу.)
Предполагают, что наниматель, выбирая схему оплаты (контракт) знает функцию полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.
15.1. Модель с полной информацией |
553 |
Можно рассматривать данную модель как динамическую игру. В ней стратегия нанимателя — контракт w(·). Мы рассмотрим один из вариантов модели, в которой контракт — это функция от усилий x: w = w(x).
1.Наниматель выбирает функцию w(·) — контракт.
2.Работник выбирает, работать ему или нет (заключать или не заключать контракт).
3.Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.
Можно изобразить эту игру в виде дерева (см. Рис. 15.1).
Наниматель
w(·)
Работник
0
x
u0
y(x)−w(x) v(w(x))−c(x)
Рис. 15.1. Представление модели наниматель-работник в виде дерева
Для полного описания игры необходимо задать множество допустимых выборов нанимателя — множество возможных контрактов {w(·)}. В случае, если множество усилий не является конечным, решение описанной игры существует не для всех множеств возможных контрактов: задача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех типов контрактов w(·). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при котором задача работника имеет решение.
Это ситуация полной информации — всем все известно (о технологии, предпочтениях и производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При данном контракте w(·) работник решает задачу
u = v(w(x)) − c(x) → max,
x X
и выбирает соответствующие усилия x :
x argmax(v(w(x)) − c(x)),
x X
(ясно, что решение может быть и не единственное). При дифференцируемости функций
v0(w(x ))w0(x ) = c0(x )
для внутреннего решения.
Далее, работник выбирает, подписывать ли ему контракт, зная оптимальное решение. Он сравнивает величины u0 и maxx X (v(w(x)) − c(x)). Если maxx X (v(w(x)) − c(x)) < u0 , работник отказывается подписывать контракт и выигрыш предпринимателя оказывается равным нулю. Если u0 оказывается выше, то работник не подписывает контракт. Напомним, что если полезность одинакова при обоих вариантах его поведения, то мы предполагаем, что работник принимает решение подписать контракт.
Таким образом, в этой ситуации решение работника зависит от предлагаемого ему контракта — w(·). С другой стороны, от решения работника x зависит величина прибыли
15.1. Модель с полной информацией |
554 |
v(w(x))
c(x)
x
x
Рис. 15.2. Выбор работником оптимальных действий
Π = y(x ) − w(x ). Наниматель предлагает контракт, дающий ему максимальную прибыль с учетом предсказуемого решения работника1.
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую задачу, с помощью которой мож-
но найти решения игры: |
|
|
|
|
|
Π = y(x ) |
− |
w(x ) |
max |
|
|
|
→ w( |
) |
|
|
|
|
· |
|
|
x argmax(v(w(x)) − c(x)), |
(PA1) |
x X |
|
|
|
|
|
v(w(x )) − c(x ) > u0. |
|
(PA2) |
Ограничение (PA1) называют ограничением совместимости стимулов. Ограничение (PA2) называют ограничением участия. Ограничение участия исключает из анализа случай v(w(x )) − c(x ) < u0 , для которого выигрыши участников известны, упрощая анализ (в противном случае требовалось бы искать максимум, вообще говоря, разрывной функции выигрыша нанимателя). Если в полученном решении прибыль нанимателя отрицательна, то он предложит работнику такой контракт, который тот не подпишет; при этом наниматель получит более высокую прибыль (нулевую)2.
Если решение задачи работника x не единственно, то будем считать, что работник делает выбор, благоприятный для нанимателя. Поэтому можно предполагать, что наниматель сам выбирает x при тех же ограничениях. Т. е. он выбирает как w(·), так и x , решая следующую задачу:
Π = y(x ) − w(x ) → max
x ,w(·)
v(w(x )) − c(x ) > v(w(x)) − c(x), x X, v(w(x )) − c(x ) > u0.
(Заметьте, что здесь ограничение совместимости стимулов записано несколько в другом виде.) Решение этой задачи нанимателя включает в себя максимизацию по функции, причем обычно решение является не единственным. Для нахождения решения удобно рассмотреть
сначала вспомогательную задачу, без ограничения совместимости стимулов
Π = y(x ) − w(x ) → max
x ,w(·)
v(w(x )) − c(x ) > u0.
1Фактически, рассматривается решение игры в виде совершенного в подыграх равновесия.
2Можно было бы добавить еще один ход нанимателя: предлагать контракт или нет. Тогда в рассматриваемом «невыгодном» случае нанимателю достаточно не предлагать работнику никакого контракта.
15.1. Модель с полной информацией |
555 |
Вводя обозначения w = w(x ), x = x , приходим к следующей задаче:
Π = y(x) − w → max
x,w
v(w) − c(x) > u0.
В этой задаче выбираются оптимальные для нанимателя значения x и w при учете только ограничения участия. Поэтому уровень прибыли, соответствующий решению этой задачи, не может быть ниже ее уровня, соответствующего оптимальному контракту. В дальнейшем мы покажем, что в действительности они совпадают.
Обозначим решение этой вспомогательной задачи через (ˆx, wˆ).
С учетом ограничения участия (которое в точке решения выполняется как равенство) ее можно свести к следующей задаче безусловной оптимизации по уровню усилий x:
Π = y(x) − v−1(c(x) + u0) → max .
x
Для данного уровня усилий xˆ, в котором достигается максимум, плата должна быть равна wˆ = v−1(c(ˆx) + u0).
При дифференцируемости функций внутреннее решение характеризуется соотношением
|
|
y0(ˆx) = |
c0(ˆx) |
. |
|
|
|
|
|
v0(wˆ) |
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
v−1(c(x)+u0) |
wˆ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
xˆ |
|
|
|
Рис. 15.3. Идеальная для нанимателя ситуация, выбор xˆ и wˆ
Это будет Парето-оптимум с точки зрения целевых функций Π и u, (элемент переговорного множества, наиболее предпочитаемый нанимателем: наниматель получит весь излишек от сделки), см. Рис. 15.4.
Рис. 15.4. Идеальная для нанимателя ситуация на Парето-границе
Может ли наниматель достичь этой идеальной для себя ситуации?
Если нет ограничений на возможные контракты, то да, причем несколькими способами. Действительно, для этого следует выбрать контракт w(·) таким образом, чтобы решение задачи работника
v(w(x)) − c(x) → max
15.1. Модель с полной информацией |
556 |
достигалось в требуемой точке xˆ и работник получал в этой точке требуемую оплату wˆ = w(ˆx). Графически это означает, что кривая v(w(x)) лежит под кривой c(x) + u0 и совпадает с ней в точке (ˆx, wˆ). Если c(·) и y(·) дифференцируемы и ищется дифференцируемая функция w(·), то для внутреннего решения должно быть выполнено
w0(ˆx) = c0(ˆx) (= y0(ˆx)). v0(wˆ)
v−1(c(x)+u0)
wˆ
x
xˆ
Рис. 15.5. Подбор схемы оплаты, реализующей идеальную для нанимателя ситуацию
Таким образом, если стратегии нанимателя и работника составляют равновесие, причем в равновесии выполнено ограничение участия, то они обладают следующими характеристиками:
Усилия работника в равновесии равны x = xˆ, а равновесный контракт w(·) удовлетворяет условиям w(x) 6 v−1(c(x) + u0) x X и w(ˆx) = wˆ . Если работник сталкивается с произвольным (в том числе неравновесным) контрактом w(·), то он выбирает уровень усилий x = x (w(·)), который максимизирует полезность работника v(w(x)) − c(x).
Верно и обратное: если существует уровень усилий x, при котором прибыль y(x)−v−1(c(x)+ u0) неотрицательна, то любые стратегии, удовлетворяющие этим условиям, составляют равновесие рассматриваемой игры.
Опишем несколько простейших контрактов, при использовании которых достигается идеальная для нанимателя ситуация.
1) Пакетный контракт («не хочешь, не бери», “take-it-or-leave-it”). Простейший контракт обуславливает приемлемую для работника оплату только для уровня усилий xˆ, например,
0, x 6= x,¯
w(x) =
w,¯ x = x¯.
(Мы подразумеваем, что w = 0 не обеспечивает работнику резервного уровня полезности.) Контракт
0, x < x,¯
w(x) =
w,¯ x > x¯.
также будем называть пакетным (см. Рис. 15.6).
Очевидно, что для оптимальности пакетного контракта его параметры x¯ и w¯ следует выбрать следующим образом:
x¯ = xˆ и w¯ = wˆ.
2) Линейный по усилиям контракт:
w(x) = a + bx.
Найдем его параметры. Из условия w0(ˆx) = y0(ˆx) получаем, что
b = y0(ˆx).
15.1. Модель с полной информацией |
557 |
v−1(c(x)+u0) |
w(x) |
wˆ |
x |
xˆ |
Рис. 15.6. Оптимальный пакетный контракт
Из условия v(w(ˆx)) = v(wˆ) = c(ˆx) + u0 получаем, что
a= wˆ − bxˆ = v−1(c(ˆx) + u0) − bx,ˆ
Т.е. если xˆ — оптимальные усилия, а wˆ — соответствующая оплата то
w(x) = wˆ + y0(ˆx)(x − xˆ).
v−1(c(x)+u0) |
w(x) |
wˆ |
x |
xˆ |
Рис. 15.7. Оптимальный линейный по действиям контракт
3) Линейный по результатам контракт:
w(x) = a + by(x).
Для того, чтобы выполнялось w0(ˆx) = y0(ˆx), требуется, чтобы b = 1. Таким образом, это должен быть контракт с полной ответственностью — все прибыли и убытки берет на себя работник. Наниматель же получает фиксированную сумму A = −a (Π = A). Т. е.
w(x) = y(x) − A.
Для того, чтобы этот контракт был оптимальным для нанимателя, следует выбрать
A = y(ˆx) − wˆ.
Контракт с полной ответственностью заставляет работника, по сути дела, самому решать задачу нанимателя, которая была сформулирована нами ранее.
Мы рассмотрели модель с полной информацией. Далее рассмотрим модели с неполной и, прежде всего, асимметричной информацией, в которых работник владеет некоторой информацией, а наниматель — нет.
