15.3. Модель найма со скрытой информацией

599

являются допустимыми в задаче нахождения оптимальных пакетов (]). Это противоречит оптимальности пакетов {w¯θ, x¯θ}.

Наоборот, любой оптимальный контракт w(·) и соответствующие ему уровни усилий xθ argmax{w(x) − cθ(x)}

определяют набор оптимальных пакетов {w(xθ), xθ}. Действительно, если эти пакеты неоптимальны, то существуют другие допустимые в задаче (]) пакеты, обеспечивающие нанимателю более высокую прибыль. Однако эти альтернативные пакеты можно реализовать как пакетный контракт.

Вообще говоря, по данному набору оптимальных пакетов оптимальный контракт w(·) можно построить бесконечным числом способов. Требуется, чтобы функция w(·) проходила через точки (xθ, wθ), но не пересекала бы соответствующие кривые безразличия работников (лежала выше их).

Заметим, что функция w(·) будет иметь достаточно сложный вид. Например, если функции издержек дифференцируемы, то оптимальные пакеты нельзя реализовать в виде линейного контракта w(x) = a + bx: точки (xθ, wθ) могут не лежать на одной прямой, кроме того, при строгой выпуклости функций издержек кривые безразличия будут пересекать прямую, проходящую через эти точки даже и в том случае, если они лежат на одной прямой. Более того, как правило, оптимальный контракт не может быть гладкой функцией.

15.3.3Задачи

/639. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работник какого из типов выбирает уровень усилий более низкий, чем в случае, когда типы наблюдаемы?

/640. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работник какого из типов получит излишек полезности по сравнению с резервной полезностью?

/641. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неизвестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работник какого из типов выбирает уровень усилий такой же, как и в случае, когда типы наблюдаемы?

/642. В модели найма со скрытой информацией предположим, что издержки усилий работ-

ника типа t равны ct(x) = tx2 , где t = 1, 2, и π1 = π2 , где πt — доля работников типа t.

Определите характеристики контракта по найму этих двух типов работников (оптимальный уровень усилий, обусловленное контрактом вознаграждение для каждого типа работников).

/643. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,

что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = x2 , работника 2-го типа — c1(x) = αx2 , причем доли работников обоих типов одинаковы.

Определите характеристики оптимального контракта.

/644. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,

что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = x2 , работника 2-го типа — c1(x) = 2x2 .

Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников первого типа.

15.3. Модель найма со скрытой информацией

600

/645. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,

что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = x2 , работника 2-го типа — c1(x) = 2x2 , причем доли работников обоих типов одинаковы.

Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от резервной полезности работников 1-го типа, в предположении, что резервная полезность работников 2-го типа равна нулю.

/646. Заказчик нанимает подрядчика для производства некоторого блага. Ценность каждой

единицы этого блага для заказчика равна 8. Подрядчик с вероятностью 1/3 может оказаться

√

имеющим функцию полезности u1 = 12 + w−Q, и с вероятностью 2/3 — имеющим функцию

√

полезности u2 = 5 + w − Q, где w — величина денежного дохода подрядчика, а Q — это стоимость произведенных благ. Резервный уровень полезности подрядчика любого типа равен u0 = 1.

Найдите оптимальный контракт вида {(Q1, w1), (Q2, w2)} в условиях асимметричной информации (заказчик не различает подрядчиков).

/647. В модели найма со скрытой информацией с n типами работников (θ = 1, . . . , n) по-

кажите, что если µθ = n1 , и cθ(x) = θc(x), где c(x) — возрастающая выпуклая функция, то ограничение монотонности усилий несущественно, т. е. задача определения оптимального

контракта распадается на n независимых задач.

/648. Пусть в модели найма со скрытой информацией cθ(x) = θx, функция дохода y(x) такова, что предельный доход положителен и убывает. Предположим, что решение задачи поиска оптимальных пакетов (x¯θ , w¯θ ) является внутренним, причем все типы работников подписывают контракт.

(A)Покажите, что если имеется два типа работников, θ1 и θ2 , причем θ1 < θ2 , то уровни усилий удовлетворяют соотношениям

y0(¯x2) = θ2 + µ1 (θ1 − θ2), µ2

а

y0(¯x2) = θ1.

(B) Покажите, что если имеется три типа работников, θ1, θ2 и θ3 , причем θ2 −θ1 = θ3 −θ2 > 0, то ограничение монотонности усилий является существенным тогда и только тогда, когда µ2 < µ1µ3 . Вычислите оптимальные пакеты для случая, когда µ2 < µ1µ3 и µ2 > µ1µ3 .

(С) Покажите, что если имеются n типов работников, причем

θi − θi−1 = θi+1 − θi > 0,

то достаточным условием несущественности ограничения монотонности усилий является неубы-

вание отношения

µ1 + · · · + µi−1 . µi

Покажите, что это достаточное условие, вообще говоря, не является необходимым.

/ 649. Пусть в модели найма со скрытой информацией допустимые усилия задаются условием x > 0, функция дохода y(x) обладает следующими свойствами:

(1)y0(x) → ∞ при x → 0;

(2)y0(x)x → 0 при x → 0,

и существуют работники двух типов, издержки усилий которых линейны (cθ(x) = θx). Докажите, что наниматель наймет работников обоих типов, т. е. x¯θ > 0 θ.