13.1. Классическая модель монополии

469

p

MC

D

MR

y

Рис. 13.4. Пример совпадения выпусков фирмы-ценополучателя и фирмы-монополиста

13.1.2Сравнительная статика

Сравнительная статика — это изучение поведения оптимального решения или равновесия при изменении экзогенных параметров. Мы рассмотрим здесь сравнительную статику равновесия при монополии. Связь монопольного равновесия с функцией издержек описывает следующее утверждение.

Теорема 129:

Пусть c1(·) и c2(·) — функции издержек такие, что разность c2(y) − c1(y) возрастает на [0, ∞), и пусть7 y1M > 0 дает максимум прибыли монополии при издержках c1(·), а y2M > 0 — при издержках c2(·). Тогда y1M > y2M .

Пусть, кроме того, p(·), c1(·) и c2(·) — дифференцируемые функции, причем c01(y) < c02(y) при всех y > 0. Тогда либо y1M = y2M = 0, либо y1M > y2M .

Доказательство: По условиям максимальности прибыли в обеих сравниваемых точках y1M и y2M имеем:

p(y1M)y1M − c1(y1M) > p(y2M)y2M − c1(y2M), p(y2M)y2M − c2(y2M) > p(y1M)y1M − c2(y1M).

Отсюда следует, что

c2(y1M) − c1(y1M) > c2(y2M) − c1(y2M).

Из возрастания функции c2(y) − c1(y) получаем требуемое соотношение: y1M > y2M .

Вторая часть утверждения (с учетом доказанной первой части) следует из сравнения дифференциальных характеристик выпусков y1M и y2M при y1M = y2M > 0. (Читателю предлагается провести соответствующие рассуждения самостоятельно.)

Доказанное утверждение можно проиллюстрировать с помощью рисунка, на котором кривая предельных издержек смещается вверх (MC1 → MC2 , см. Рис. 13.5).

Для частного случая постоянных предельных издержек вышеприведенная теорема может быть получена непосредственным использованием условий первого и второго порядка.

Условие первого порядка для случая постоянных предельных издержек (c0(y) = c) имеет следующий вид:

yMp0(yM) + p(yM) = c.

7Отметим, что мы не предполагаем единственности решения задачи монополиста. В случае множественности каждое решение, соответствующее издержкам c1(·), больше каждого решения, соответствующего издержкам c2(·).

13.1. Классическая модель монополии

470

p

MR

pM2

pM1

MC2 D

MC1

y

y1M y2M

Рис. 13.5. Влияние роста предельных издержек на выпуск монополии

Оно задает в виде неявной функции зависимость объема производства, выбираемого монополистом, от величины предельных издержек yM = y(c). В предположении существования производных обратной функции спроса p(y) и функции y(c), продифференцируем по c тож-

дество

y(c)p0(y(c)) + p(y(c)) = c.

Получим соотношение

2p0(y(c))y0(c) + y(c)p00(y(c))y0(c) = 1,

или

y0(c) =	1	.
	2p0(y(c)) + y(c)p00(y(c))

В знаменателе дроби стоит вторая производная прибыли, которая (по условиям второго порядка) неположительна. Отсюда следует, что y(c) — убывающая функция.

По изменению выпуска можно найти изменение цен по следующей формуле.

dp	= p0(y(c))y0(c) =	1	> 0.
dc		2 + y(c)p00(y(c))/p0(y(c))

Это соотношение показывает, что равновесная цена растет при росте издержек. Приведенные соотношения можно применять для анализа влияния на монопольное равно-

весие изменения в величине издержек (шоков со стороны предложения). В качестве примера такого изменения можно рассмотреть введение налога с продаж. Так, при линейной функции спроса и постоянных средних издержках введение налога с единицы продукции при ставке t приводит к росту цены на t/2. В случае же функции спроса с постоянной эластичностью ε < 0 (т. е., y(p) = apε ) введение такого налога приводит к росту цены на величину t|ε|/(1 + |ε|). (Справедливость этих утверждений проверьте самостоятельно.)

Приведенные свойства позволяют провести анализ потерь благосостояния, связанных с монопольной организацией рынка, что является основной задачей нашего анализа несовершенных рынков.

13.1.3Анализ благосостояния в условиях монополии

Как известно, если предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями полезности, то в качестве индикатора благосостояния может использоваться величина

m

X

W = vi(xi) − c(y)

i=1

13.1. Классическая модель монополии

471

(см. гл. 6). При этом множество объемов, которые максимизируют благосостояние, является множеством Парето-оптимальных состояний. При анализе благосостояния вместо m исходных потребителей можем использовать одного репрезентативного, и записать благосостояние как функцию производства/потребления рассматриваемого блага:

W (y) = v(y) − c(y).

Покажем, что объем производства данного блага при монополии не может превышать Па- рето-оптимальный объем производства. Более того, при естественных предположениях он не может совпадать с оптимальным, и поэтому меньше оптимального. Доказательство во многом похоже на доказательство Теоремы 128.

Теорема 130:

Если обратная функция спроса p(y) порождается решением задачи репрезентативного потребителя и убывает, yM — объем производства, выбранный монополией, а yˆ > 0 — Парето-оптимальный объем производства, то8

(i)yM 6 yˆ.

(ii)Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы и p0(yM) <

09, то yM < yˆ.

Доказательство: Пусть v(y) + z — функция полезности рассматриваемого репрезентативного потребителя. Так как p(y) — его обратная функция спроса, то должно выполняться неравенство

v(yM) − p(yM)yM > v(ˆy) − p(yM)ˆy.

С другой стороны, по определению оптимума Парето

W (ˆy) = v(ˆy) − c(ˆy) > v(yM) − c(yM) = W (yM).

Сложим эти два неравенства:

p(yM)ˆy − c(ˆy) > p(yM)yM − c(yM).

Поскольку yM максимизирует прибыль монополии, то

p(yM)yM − c(yM) > p(ˆy)ˆy − c(ˆy).

Таким образом,

p(yM)ˆy > p(ˆy)ˆy.

Поскольку, по предположению yˆ > 0, а p(y) убывает, то yM 6 yˆ.

Докажем теперь вторую часть теоремы. Предположим противное, т. е. yM = yˆ. Выбор монополиста при yM > 0 должен удовлетворять условиям первого порядка:

p(yM) + p0(yM)yM − c0(yM) = 0,

откуда p(yM) − c0(yM) > 0 (цена выше предельных издержек).

8В доказательстве не используется ни единственность монопольного равновесия, ни единственность оптимального с точки зрения общества объема выпуска. Результат теоремы следует понимать как соотношение между двумя любыми представителями соответствующих множеств.

9Это можно гарантировать, если вторые производные vi00(·) существуют и отрицательны.

13.1. Классическая модель монополии

472

Рассматривая задачу репрезентативного потребителя для квазилинейной функции полезности легко получить, что обратная функция спроса p(·) задается формулой

			p(y) = v0(y) y > 0,
поэтому, учитывая, что yM = yˆ > 0,
	−		v0(yM) − c0(yM) > 0.
Однако v0(yM)		c0		M	M
			(yM) есть значение производной функции благосостояния в точке yM . Таким
образом, W (y) не достигает максимума в точке y . Мы получили противоречие. Значит, y						<
yˆ.

Отметим, что, принимая во внимание первую теорему благосостояния, говорящую о Па- рето-оптимальности множества конкурентных равновесий, из только что доказанной теоремы следуют все результаты, доказанные нами ранее в Теореме 128.

В предположениях доказанной только что теоремы (пункт 2) имеет место неравенство W 0(yM) > 0, из которого следует, что уровень благосостояния в ситуации монополии ниже оптимального, т. е.

W (yM) < W (ˆy).

Другими словами, при монополии возникают чистые потери благосостояния (DL > 0), которые вычисляются по формуле:

DL = W (ˆy) − W (yM) = v(ˆy) − c(ˆy) − [v(yM) − c(yM)] =

=[(v(ˆy) − pyˆ) − (v(yM) − pyM)] + [(pyˆ − c(ˆy)) − (pyM − c(yM))] =

=CS + P S,

где CS — изменение потребительского излишка, а P S — изменение излишка производителя.

p
D
pM	Треугольник
	Харбергера
	DL
pˆ	MC
	MR
	y
yM	yˆ

Рис. 13.6. Иллюстрация чистых потерь благосостояния в монопольной отрасли

Напомним, что величины излишков потребителя и производителя можно с точностью до константы рассчитать по формулам

Z y Z y

CS(y) = [v0(t) − p(y)]dt = [p(t) − p(y)]dt + const

0 0

и

Z y

P S(y) = [p(y) − c0(t)]dt + const.

0

13.1. Классическая модель монополии

473

Сумма излишков потребителя и производителя — это совокупный излишек, совпадающий с индикатором благосостояния. Таким образом,

Z y

W (y) = [p(t) − c0(t)]dt + const.

0

Другими словами, совокупный излишек соответствует площади фигуры заключенной между кривой спроса, кривой предельных издержек, осью ординат и параллельной ей прямой, проходящей через точку (y, 0).

Чистые потери от монополии также можно представить в виде интеграла:

Z yM

DL = [p(t) − c0(t)]dt.

yˆ

Графически чистые потери благосостояния, которые несет общество от монополизации рынка, представляют собой площадь (криволинейного) «треугольника», называемого треугольником Харбергера (см. Рис. 13.6).10

Пример 62 ((продолжение Примера 61)):

Вычислим чистые потери от монополии в случае линейной функции спроса и постоянных предельных издержек, т. е. когда p(y) = a − by и c0(y) = c.

Оптимальный объем производства составит

yˆ = a −b c,

монополия же, как мы видели, будет производить

yM = a2−b c,

т. е. выпуск монополии в два раза меньше Парето-оптимального количества блага. Чистые потери от монополии составляют величину

DL =	yˆ [(a	−	bt)	−	c]dt =	(a − c)2	.
	ZyM					8b

Таким образом, чистые потери от монополии в данном случае составляют четверть (исходного) потребительского излишка:

CS(ˆy) =	yˆ[(a	−	bt)	−	(a	−	byˆ)]dt =	(a − c)2	.
	Z0							2b
Рассматриваемый пример изображен на Рис. 13.7.								4

10По-видимому, впервые понятие чистых потерь было использовано французским инженером Жюлем Дюпюи (J. Dupuit: De la Mesure de l’Utilit´e des Travaux Publics, Annales des Ponts et Chauss´ees 8 (1844): 332–375; рус. пер. Ж. Дюпюи: О мере полезности гражданских сооружений, в кн. Теория потребительского поведения и спроса, В. М. Гальперин (ред.), СПб.: Экономическая школа, 1993: 28–66. См. также статью Гарольда Хотеллинга: H. Hotelling: The General Welfare in Relation to Problems of Taxation and of Railway and Utility Rates, Econometrica 6 (1938): 242–269; рус. пер. Г. Хотеллинг: Общее благосостояние в связи с проблемами налогообложения и установления железнодорожных тарифов и тарифов на коммунальные услуги, в кн. Теория потребительского поведения и спроса, В. М. Гальперин (ред.), СПб.: Экономическая школа, 1993: 142–175.) Количественные измерения потерь благосостояния были популяризированы Арнольдом Харбергером (A. C. Harberger: The Measurement of Waste, American Economic Review 54 (1964): 58–76).