7.8. Задачи к главе

286

и облигации с параметрами (σ2, r¯2) = (1, 1, 3), причем они положительно коррелированы с коэффициентом 1. Будет ли строго возрастать или убывать доля акций в портфеле инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?

(A)Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помощью графиков.

(B)Вывести функциональную зависимость.

/418. (Очень осторожный инвестор)?? Некий инвестор всегда предпочитает активы с меньшим риском (дисперсией) вне зависимости от ожидаемой доходности. Пусть он составляет

портфель из двух активов с ожидаемыми полезностями r¯1 и r¯2 и дисперсиями доходности σ12 и σ22 . В какой пропорции войдут в портфель эти активы, если они . . .

(1) жестко положительно коррелированы (коэффициент корреляции равен ρ12 = 1),

(2) некоррелированы (ρ12 = 0),

(3) строго отрицательно коррелированы (ρ12 = −1).

/419. На отрезке в ряд расзположены четыре предприятия:

v	v	v	v
1	2	3	4

Время от времени происходит стихийное бедствие, которое сокращает прибыли на двух соседних предприятиях наполовину. Без учета этого прибыль на всех предприятиях одинакова. Вероятность стихийного бедствия для каждой пары предприятий, (1, 2), (2, 3), (3, 4), одинакова. В какой пропорции распределит свой капитал между акциями этих предприятий инвестор с квадратичной элементарной функцией полезности?

/420. Покажите, что если инвестору доступны два рискованных актива (¯r1, σ1), (¯r2, σ2), доходности которых некоррелированны, и выполнено r¯1 < r¯2 , то оптимальный портфель обязательно содержит 2-й актив. Покажите, что условие некоррелированности активов существенно для справедливости этого утверждения, приведя соответствующий контрпример.

/421. Покажите в явном виде, что если инвестору доступны два рискованных актива (¯r1, σ1), (¯r2, σ2), доходности которых некоррелированны, и безрисковый актив, и выполнено r¯1 < r¯2 , то оптимальный портфель содержит 1-й актив тогда и только тогда, когда r0 < r¯1 . Покажите, что условие некоррелированности активов существенно для справедливости этого утверждения, приведя соответствующий контрпример.

7.8Задачи к главе

/ 422. Имеются два вида активов — облигации и акции. Их доходности, зависящие от предполагаемого состояния экономики, приведены в таблице ??: Кредит невозможен. Элементарная

Состояние	Вероятность	Доходность	Доходность
экономики	события	облигаций	акций
Спад	1/3	1,1	1,0
Норма	1/3	1,4	1,6
Подъем	1/3	1,7	2,2

функция полезности инвестора равна u(x) = 4x − x2 .

(А) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом максимизации функции полезности фон Неймана — Моргенштерна.

7.8. Задачи к главе

287

(Б) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марковица — Тобина.

(В) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марковица — Тобина, если дополнительно существует безрисковый актив с доходностью 1,3.

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s				Глава
Рынки в условиях				8
неопределенности

В этом параграфе мы рассматриваем модели общего равновесия (обмена) с контингентными благами в предположении, что существует конечное множество таких благ, а, следовательно, и состояний мира. Участники обмена при этом имеют собственные (возможно неверные) представления о вероятностях возможных состояний мира. Частным случаем этой ситуации является рынок, где представления всех участников о вероятностях совпадают. Заметим, что часто полученные результаты не зависят от того, являются ли эти представления верными или ошибочными.

8.1Модель Эрроу—Дебре экономики с риском

Как и прежде, будем предполагать, что имеется m потребителей (i I = {1, . . . , m})

иl товаров (k K = {1, . . . , l}). S = {1, . . . , sˆ} — множество всех возможных состояний мира. Условно можно представить, что рассматриваются два момента времени — «сегодня»

и«завтра». Предполагается, что сегодня заключаются сделки и уравновешиваются рынки, а выполняться сделки будут завтра, когда выяснится, какое из состояний мира реализуется.

Напомним, что контингентным благом (k, s) является контракт, заключаемый сегодня и гарантирующий поставку единицы товара k K завтра в том случае, если реализуется состояние s S .

Цену такого контингентного блага обозначим pks , а его количество, приобретаемое потре-

бителем i — xiks . Таким образом, потребительский набор в данной модели характеризуется вектором xi = {xiks}ks Rlsˆ. Заметим, что контингентное благо покупается и оплачивается сегодня, когда неизвестно, какое состояние мира реализуется.

Как и прежде, будем предполагать, что в каждом из состояний мира s S потребитель i обладает начальными запасами ωis Rl . Таким образом, начальные запасы ωi = {ωiks}ks потребителя i состоят из наборов контингентных благ.

Будем рассматривать здесь только экономику без производства (экономику обмена). Потребители обмениваются между собой только имеющимися у них контингентными благами и заключают сделки в рамках бюджетного ограничения. Каждый из потребителей максимизирует в рамках такого ограничения свою функцию полезности Ui(xi).

Напомним, что задача потребителя имеет вид

Ui(xi) → max

xi

X kX	X kX	(N)
pksxiks 6	pksωiks,
s S K	s S K

xis Xi s S.

Соответствующую экономику назовем экономикой Эрроу — Дебре (экономикой с риском)1. Выполнение балансов в этой экономике требуется для каждого из состояний мира s S

1См. напр. G. Debreu: Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, John Wiley & Sons, 1959 (Cowles Foundation Monograph No. 17), ch. 7, “Uncertainty”, а также статью К. Эрроу, упомянутую в сноске 4.

288

8.2. Теоремы благосостояния для экономики Эрроу—Дебре

289

отдельно. Т. е. состояние экономики Эрроу — Дебре допустимо, если для каждого блага и каждого состояния мира выполнен баланс:

XX

xiks = ωiks, k K, s S.

i I i I

Кроме того, как и ранее, для допустимости состояния экономики требуется допустимость наборов всех потребителей:

xis Xi, s S, i I.

Определение общего равновесия остается прежним.

Определение 60:

Назовем (p, x¯) равновесием Эрроу — Дебре экономики с риском, если

1)x¯i — решение задачи потребителя (N) при ценах p.

2)x¯ — допустимое состояние, т. е.

XX

x¯iks = ωiks, k K, s S.

i I i I

Несложно понять, что такая модель рынка ничем не отличается от классической, с точностью до способа спецификации благ (k, s). Этот факт можно использовать для доказательства теорем благосостояния для равновесия Эрроу — Дебре.

8.2Теоремы благосостояния для экономики Эрроу—Дебре

Вэтом параграфе мы получим аналог двух теорем благосостояния, характеризующих свойства равновесия в терминах Парето-эффективности. При определении Парето-эффективности в данной экономике мы сталкиваемся с проблемами, связанными с возможными ошибками при оценке вероятностей состояний мира.

Заметим, что понятие (и определение) Парето-оптимального состояния такой экономики зависит от способа оценивания возможных потребительских наборов и, в конечном итоге, от оценок вероятностей состояний мира. В дальнейшем мы будем использовать два таких понятия. Первое, аналогичное классическому определению, основывается на функциях полезности потребителей, полученных при оценках состояний мира, приписываемых этим состояниям данными потребителями (функциях Ui(xi)). Второе основывается на истинных значениях вероятностей состояний мира.

Определение 61:

Допустимое состояние экономики с риском xˆ = (xˆ1, . . . , xˆm) называется (субъективно) Па- рето-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния xˇ = (xˇ1, . . . , xˇm), такого что Ui(xˆi) 6 Ui(xˇi), причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.

Альтернативное определение мы дадим только для случая, когда предпочтения описываются функцией Неймана — Моргенштерна.

Определение 62:

Пусть функции полезности всех потребителей в экономике Эрроу — Дебре имеют вид Неймана — Моргенштерна с субъективными вероятностями:

X

Ui(xi) = µisui(xis),

s S

и µi — объективные вероятности состояний мира.

8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна

290

Допустимое состояние экономики с риском xˆ = (xˆ1, . . . , xˆm) называется (объективно) Па- рето-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния xˇ = (xˇ1, . . . , xˇm), такого что

XX

µsui(xˇis) > µsui(xˆis),

s S

s S

причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.

Различие двух определений связано только с корректировкой возможных ошибок в оценке вероятностей состояний мира потребителями.

В этом параграфе мы будем исходить из первого (субъективного) определения оптимальности. При использовании этого определения для экономики Эрроу — Дебре выполнены аналоги Теорем благосостояния при стандартных предположениях. В то же время, очевидно, что при использовании второго («объективного») определения оптимальности, аналоги Теорем благосостояния при тех же предположениях в общем случае не выполнены.

Теорема 95:

Пусть (p, x¯) — равновесие Эрроу — Дебре экономики с риском, причем предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда x¯ — Парето-оптимальное состояние.

Пусть xˆ — внутреннее Парето-оптимальное состояние экономики Эрроу — Дебре. Предположим также, что предпочтения потребителей выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы2. Тогда существуют цены p, такие что (p, xˆ) является равновесием Эрроу — Дебре при некотором распределении собственности ωi .

Доказательство: Перенумеруем контингентные блага: (k, s) → k0 .

После такой операции получаем классическую модель Вальраса с l × sˆ «обычными» благами, в которой выполнены предположения первой и второй теорем благосостояния.

Один из возможных способов нумерации контингентных благ иллюстрирует Таблица 8.1.

Таблица 8.1. Иллюстрация нумерации контингентных благ

		s
	1	2	3	4
1	1	4	7	10
k 2	2	5	8	11
3	3	6	9	12

8.3Свойства равновесий Эрроу — Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана — Моргенштерна

Мы рассмотрим в данном параграфе, какие черты специфический вид функции полезности Неймана — Моргенштерна (линейность по вероятностям и постоянство элементарных функций полезности по состояниям мира) накладывают на равновесия и Паретооптимальные состояния.

2Заметим, что в случае, когда предпочтения потребителей представимы функцией полезности Неймана — Моргенштерна, ненасыщаемость предпочтений гарантируется монотонностью элементарной функции полезности, непрерывность — непрерывностью элементарной функции полезности, выпуклость — ее вогнутостью.

8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна

291

Пример 37:

Рассмотрим экономику, в которой есть одно благо (деньги), два потребителя, и два состояния мира: R (дождь), и S (солнечная погода). Потребители обладают начальными запасами ω1 = (1, 3), ω2 = (3, 1) контингентных благ. Т. е., первый потребитель, если обмен не происходит, может рассчитывать на 1 при дожде и на 3 при солнце, а второй — наоборот. Пусть оба считают, что вероятности состояний R и S равны µR = 0,25 и µS = 0,75 соответственно, и имеют одинаковые элементарные функции полезности ui(x) = ln(x). Тогда функции полезности потребителей имеют вид:

Ui = 0,25 ln(xiR) + 0,75 ln(xiS), i = 1, 2.

Описанная экономика представляет собой типичный пример «ящика Эджворта», только интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными («физическими») благами, а об обмене рисками.

Дифференциальная характеристика Парето-оптимума имеет вид

∂U1/∂x1R = 0,25x1S = ∂U2/∂x2R = 0,25x2S , ∂U1/∂x1S 0,75x1R ∂U2/∂x2S 0,75x2R

откуда

x1Sx2R = x1Rx2S.

В Парето-оптимуме также должны выполняться балансы:

x1R + x1S = 4,

x2R + x2S = 4.

Отсюда получаем следующее уравнение границы Парето в координатах (x1R, x1S):

x1S(4 − x1R) = x1R(4 − x1S)

или

x1S = x1R.

Следовательно, граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта. Найдем теперь равновесие. Его дифференциальная характеристика имеет вид:

∂U1/∂x1R	=	0,25x1S	=	pR	,
		0,75x1R
∂U1/∂x1S				pS
∂U2/∂x2R	=	0,25x2S	=	pR	.
		0,75x2R
∂U2/∂x2S				pS

Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как и предсказывает Теорема 95, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в равновесии x1S = x1R .

Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики равновесия, что отношение цен в двух состояниях мира равно

pR = 0,25 = 1. pS 0,75 3

Таким образом, можно выбрать pR = 1, pS = 3.

Поскольку предпочтения потребителей монотонны, то бюджетные ограничения в равновесии выходят на равенство. Для 1-го потребителя

pRx1R + pSx1S = pR + pS · 3,

8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна	292
т. е.
x1R + 3x1S = 1 + 3 · 3 = 10.
Поскольку x1S = x1R , то x¯1S = x¯1R = 2,5.	4
Учитывая балансы, x¯2S = x¯2R = 1,5.

x1S

x2R

ω

x¯

x1R

x2S

Рис. 8.1. Иллюстрация к Примеру 37

В приведенном примере в любом Парето-оптимальном состоянии (а значит, и в равновесии) потребление обоих потребителей не зависит от состояния мира. Другая его примечательная особенность состоит в том, что отношение цен для двух состояний мира оказалось пропорциональным отношению вероятностей этих состояний. Оказывается, эти закономерности верны и в более общих случаях, когда, как и в данном примере, суммарные запасы не зависят от состояний мира. Покажем это.

Определение 63:

Будем говорить, что в экономике Эрроу — Дебре отсутствует системный риск, если

XX

ωiks = ωikt, k K, s, t S.

i I i I

Теорема 96:

Пусть в экономике Эрроу — Дебре системный риск отсутствует, предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности Неймана — Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и строго вогнутыми элементарными функциями полезности, заданными на выпуклых множествах допустимых наборов Xi . Тогда в любом Паретооптимальном состоянии экономики xˆ потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира (т. е. отсутствует индивидуальный риск):

xˆiks = xˆikt, i I, k K, s, t S.

Доказательство: Пусть в равновесии для какого-либо потребителя j данное свойство не выполнено, например, xˆjks 6= xˆjkt . Тогда допустимое состояние экономики x , такое что

xiks = X µtxˆikt

t S

является Парето-улучшением для состояния xˆ , что противоречит Парето-оптимальности xˆ .

8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна											293
Проверим, что состояние x является допустимым.
xiks	=	µtxˆkt =	µt	xˆikt	=	µt	ωikt		=	ωikt.
X	X X	X		X	Xt	Xi I				X
i I	i I t S	t S		i I	S					i I
где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что						Pi I	ω	ikt	не зависит от состояния
мира и сумма вероятностей состояний мира равна 1.

Проверим теперь, что x является Парето-улучшением. Заметим, что для любого потребителя xi является безрисковым набором, поэтому

Ui(xi ) =	µsui(xis) = ui(xis)	µs = ui(xis)
sX	X
S	s	S

Для произвольного потребителя i по определению xiks и неравенству Йенсена

U (x ) = u (x ) = u					µ xˆ				µ u (xˆ	) = U (xˆ ).
i i	i is	i		Xt			X			i i
					t it		>		s i is
					S		s		S
Для потребителя j неравенство здесь строгое.

Теорема 97:

Пусть в экономике Эрроу — Дебре системный риск отсутствует, и предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности Неймана — Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и возрастающими строго вогнутыми элементарными функциями полезности. Тогда в равновесии Эрроу — Дебре (p, x¯) выполнено.

(i) Потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира:

x¯iks = x¯ikt, i I, k K, s, t .

(ii) Если, дополнительно, в равновесии потребительский набор хотя бы одного потребителя является внутренним3, элементарные функции полезности дифференцируемы, то отношение цен на одно и то же «физическое» благо в двух разных состояниях мира равно отношению вероятностей этих состояний:

pks = µs , k K, s, t S.

pkt µt

Доказательство: (i) Отсутствие индивидуального риска (x¯is = x¯it, s, t S ) следует из первой теоремы благосостояния и Теоремы 96.

(ii) Для потребителя i, набор которого является внутренним, выполнена дифференциальная характеристика

µsu0ik0 (x¯is) = pks , k K, s, t S,

µtuik(x¯it) pkt

Как только что доказано, в равновесии x¯is = x¯it , откуда и следует требуемое соотношение.

Если в экономике есть системный риск, то приведенные свойства не выполняются. Однако, равновесия и в этом случае обладают некоторыми общими свойствами. В частности, если благо одно, состояний мира два и потребителя два, то граница Парето проходит в промежутке между двумя биссектрисами соответствующего ящика Эджворта (который в этом случае

3Это условие выполнено, например, если Xi состоят из неотрицательных векторов, и суммарные начальные запасы любого блага положительны. Поскольку суммарные начальные запасы положительны, то в равновесии всегда существует потребитель i, который предъявляет спрос на некоторое благо k в каком-то из состояний мира, а, следовательно, и во всех состояниях мира. и этого блага

8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна

294

будет неквадратным), т. е. потребление в относительно «скудном» состоянии мира должно быть относительно низким. То же самое верно и для равновесия, которое по первой теореме благосостояния должно лежать на границе Парето. Кроме того, цена для более «скудного» состояния относительно выше. Действительно, в равновесии выполняется

µRu0i0(¯xiR) = pR , i = 1, 2.

µSui(¯xiS) pS

Если приравнять друг к другу предельные нормы замещения двух потребителей, учитывая балансы, то вероятности сократятся:

u010 (¯x1R) = u020 (ωΣR − x¯1R). u1(¯x1S) u2(ωΣS − x¯1S)

Пусть ωΣR < ωΣS . Докажем, что x¯1R < x¯1S . Если бы было выполнено x¯1R > x¯1S , то u01(¯x1R) 6 u01(¯x1S), поскольку предельная полезность для рискофоба — убывающая функция.

Отсюда следует, что

u02(ωΣR − x¯1R) 6 u02(ωΣS − x¯1S),

и что ωΣR −x¯1R > ωΣS −x¯1S . Получили противоречие. Таким образом, x¯1R < x¯1S . Аналогично доказывается, что x¯2R < x¯2S .

Доказанное верно и для границы Парето, поскольку дифференциальные характеристики равновесий и Парето-оптимальных состояний совпадают.

Кроме того, из x¯iR < x¯iS и дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что

µR		µRui0(¯xiR)		=	pR
µS	<	µSu0	(¯xiS)		pS .
		i
x1S
x2R		ω
			x¯
					x1R
					x2S

Рис. 8.2. Парето-граница и равновесие в условиях системного риска

Рассмотрим теперь на примере свойства равновесия в случае, когда один из потребителей нейтрален к риску.

Пример 38:

Пусть функции полезности потребителей имеют вид:

U1(x1) = µRx1R + µSx1S,

U2(x2) = µR ln(x2R) + µS ln(x2S).

Первый из потребителей здесь нейтрален к риску, а второй — рискофоб.

8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна

295

Дифференциальная характеристика границы Парето имеет следующий вид:

µR = µRx2S , µS µSx2R

откуда x2S = x2R . Это соотношение выполнено только на внутренней части границы Парето. Оно означает, что соответствующая часть границы является биссектрисой положительного ортанта системы координат 2-го потребителя. Это же свойство должно выполняться и для любого внутреннего равновесия. Содержательно это означает, что нейтральный к риску 1-й потребитель полностью застрахует 2-го потребителя-рискофоба.

В предположении о допустимости неотрицательных (для второго потребителя — положительных) количеств благ, граница Парето «загибается» в месте пересечения с одной из осей

координат 1-го потребителя.

4

x1S

x2R

x1R

x2S

Рис. 8.3. Парето-граница в случае, когда первый потребитель нейтрален к риску

Гипотезы µis разных участников i торговли о вероятностях состояний мира s S не обязаны совпадать. Это не мешает торговле, а иногда и создает условия для нее. Пример этого получим, изменив параметры экономики, рассмотренной в Примере 37.

Пример 39 ((Пари)):

Пусть функции полезности потребителей имеют вид:

U1(x1) = 0,25 ln(x1R) + 0,75 ln(x1S),

U2(x2) = 0,75 ln(x2R) + 0,25 ln(x2S).

Первый потребитель считает второе событие в три раза вероятнее первого; второй — наоборот. Начальные запасы одинаковые для обоих: ωi = (2, 2). Равновесие в этой модели единственно, равновесные цены, соответствующие разным состояниям природы, совпадают между собой: pR = pS . Равновесные распределения: x¯1R = x¯2S = 1; x¯1S = x¯2R = 3. Данный пример можно интерпретировать в том смысле, что потребители, имея разные представления о вероятностях состояний мира, заключают между собой пари. Несмотря на то, что отсутствует риск с точки зрения начальных запасов, обмен будет происходить (равновесие не совпадает с точкой начальных запасов), в результате чего в равновесии потребители сталкиваются с индивидуальным риском.

Отношение цен блага в двух состояниях мира будет лежать в промежутке между отноше-

ниями вероятностей:

0,25 < 1 < 0,75, 0,75 1 0,25