3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

105

Это можно интерпретировать следующим образом: мероприятие экономической политики, характеризующееся положительной суммарной компенсирующей вариацией, может привести к росту полезности всех затронутых потребителей, если дополнить его соответствующим перераспределением дохода23. Однако следует отметить, что данная интерпретация предполагает, что такое перераспределение доходов не вызовет изменения цен. В рамках концепции общего равновесия, такое предположение оказываются, вообще говоря, некорректным.

3.3.3Задачи

/137. Выведите формулы (◦) и (◦◦) (см. с. 92).

/138. Покажите, что если блага комплементарны ??/не определено/, то эффект замены отсутствует, а если предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого нелинейно зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода.

/139. Покажите, что если функция полезности аддитивно-сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых ??/не определено/ товаров

/140. Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благ-заме- нителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла):

«Благо 1 называется субститутом блага 2, если ∂x2 < 0».

∂p1

«Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если ∂x2 > 0».

∂p1

(a)Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация, когда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно.

(b)Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса (приведите их) свободны от парадоксов такого типа.

/141. Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обратное?

/142. Могут ли все блага быть малоценными, если предпочтения локально ненасыщаемы?

/143. Пусть все исходные данные те же, что и в Примере 21. Укажите геометрическое место точек, среди которых может находиться спрос потребителя, обладающего квазилинейными предпочтениями.

/144. В экономике присутствует два товара. Потребитель имеет локально ненасыщаемые

предпочтения. Функция спроса на первый товар имеет вид x1(p, R) =	3R		. Найдите
	3p1+4√
		p1p2
компенсирующее изменение дохода по Слуцкому при p = (1, 1), p0 = (1, 4) и R = 121.
/ 145. Пусть непрямая функция полезности некоторого потребителя имеет вид			v(p, R) =

	R		. Найдите компенсирующее изменение дохода по Хиксу при	p = (1, 1), p0 = (1, 4) и
min{p1,p2}
R = 121.

/146. Пусть потребитель имеет однородную первой степени функцию полезности. При ценах p = (1, 1) и доходе R = 5 его функция спроса была равна x(p, R) = (2, 3).

(a)Определите геометрическое место точек, которые могут представлять спрос потребителя, если на покупку первого товара ввели налог в размере 20% от цены, а доход потребителя остался неизменным.

(b)Налог на доход потребителя??? изменился с 20 до 40 процентов. Ответьте на тот же

вопрос.

/147. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид

u(x) =	l	ui(xi) положительно
	Pi=1 ui(xi). Кроме того, предположим, что каждое слагаемое

однородно степени αi > 0. Покажите, что спрос данного потребителя удовлетворяет закону спроса.

23Ср. с Теоремой 80 в гл. 6 на с. 223.

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

106

/148. Пусть набор x является внутренним в потребительском множестве, и является спросом потребителя при некоторых ценах и доходе.

(a)Докажите, используя уравнение Эйлера, что если предпочтения потребителя задаются положительно однородной степени α (0 < α < 1) функцией полезности, то левая часть в неравенстве (0) равна нулю.

(b)Дайте интерпретацию полученных результатов в их связи с законом спроса.

(c)Докажите, пользуясь предыдущими результатами, что если предпочтения потребителя задаются положительно однородной первой степени функцией полезности, принимающей положительные значения, то выполнен закон спроса.

/149. Проверьте выполнение упоминавшихся в данном параграфе достаточных условий закона спроса в случае функции полезности вида

u(x) = −12x| Ax + b| x,

где A — симметричная положительно определенная матрица.

/ 150. Функция полезности Андрея Экономова, u(·), зависит от потребления двух благ. Его доход — R0 д. е., цена первого и второго блага — 1 д. е. Его шефы предлагает ему работу без изменения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цена второго в два раза выше. Экономов еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в A д. е. Однако, он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на B д. е. Чему равны A и B ?

(a)Решите задачу при u(x) = min{x1, x2} и R0 = 240.

(b)Решите задачу при u(x) = 4x1x2 и R0 = 10.

/151. Николай Здоровяков потребляет только два блага — кофе и сигареты, причем может потреблять их только так, чтобы на чашку кофе приходилось три сигареты. Цена чашки кофе — 9 д. е., а цена сигареты — 2 д. е. Доход Николая составляет 180 д. е. в день. Правительство ввело 50%-й налог на сигареты. Найдите изменение потребительского излишка, компенсирующую и эквивалентную вариации. Сравните их (по абсолютной величине) с налоговыми доходами правительства, полученными от Николая.

/152. На потребление одного из благ (первое) введен налог, так что цена блага для потребителя для потребителя стала равной p1 +t, где p1 — исходная рыночная цена. Цены остальных благ и доход потребителя остались неизменными. Пусть EV — эквивалентная вариация, связанная с соответствующим увеличением цены блага, а T — поступление от налога, x1(p1) — функция спроса.

(a)Объясните, почему величину −EV − T можно назвать чистыми потерями от налога.

(b)Запишите формулы для EV и T и покажите, что чистые потери неотрицательны.

(c)Предложите аналогичный измеритель чистых потерь, основанный на компенсирующей вариации. Совпадают ли эти два измерителя?

/153. не по теме задача?? Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных количествах, а второе благо — деньги (используемые на приобретение других благ), и функция

полезности квазилинейна: u(x) = v(x1) + x2 . Пусть, далее, ri — резервная цена приобретения i-ой единицы первого блага и определяется соотношением

u(i − 1, x2 − (i − 1)ri) = u(i, x2 − iri).

(a) Покажите, что если потребитель приобретает n единиц первого блага, то цена p1 на него удовлетворяет соотношению: rn > p1 > rn−1 . При каких условиях верно и обратное утверждение?

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

107

(b) Покажите, что если v(0) = 0, то v(n) = Pi ri , а потребительский излишек

CS = v(n) + R − p1n

совпадает с «чистой» выгодой от приобретения первого блага

(c)Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при которой потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага (увеличив тем самым потребление второго блага на величину компенсации).

/154. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности ?? и вычислите на этой основе их величины при l = 2, R0 = R1 = 100, p0 = (1, 1), p1 = (2, 1), когда. . .

(a)предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;

(b)блага абсолютно заменимы;

(c)блага комплементарны;

(d)предпочтения описываются функцией Кобба — Дугласа.

/155. Проделайте то же, что и в предыдущей задаче, в случае, когда цена на первое благо падает (R0 = R1 = 100, p0 = (0,5, 1), p1 = (1, 1)). Сравните результаты.

/156. В ситуациях, рассмотренных в двух предыдущих задачах, проиллюстрируйте на графике поведение кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответствующие фигуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек.

/157. В экономике есть два блага. Цена второго блага и доход потребителя остаются неизменными.

(a)Для заданной на плоскости (x1, p) системы кривых спроса Хикса на первое благо изобразите возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо.

(b)Укажите на графике соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек при (i) падении и (ii) росте цены первого блага.

(c)Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка в разных ситуациях, различающихся типом благ (нормальное/ малоценное благо) и характером изменения цен (падение/рост)?

/158. Пусть в экономике присутствует два товара. В результате некоторого мероприятия экономической политики изменилась цена первого блага. При этом цена второго блага и доход потребителя остались неизменными. Как соотносятся компенсирующая, эквивалентная вариации и потребительский излишек в случае если. . .

(a)цена первого блага выросла и первый товар нормальный;

(b)цена первого блага выросла и первый товар — товар Гиффена;

(c)цена первого блага упала и первый товар малоценный;

(d)цена первого блага упала и первый товар — товар Гиффена?

Докажите соответствующие неравенства.

/ 159. Покажите, что при изменении одной цены CS обладает свойством аддитивности.

/ 160. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход постоянен и равен R0 , а цена первого блага меняется с p01 до p11 . Спрос потребителя таков, что эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна η.

(a) Проинтерпретируйте условие постоянства эластичности спроса по доходу как дифференциальное уравнение для спроса (рассматриваемого как функция дохода). Решите это уравнение и покажите, что

	R	η
x1(p1, R) = x1(p1, R0)		! .
	R0

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

108

(b) Объясните, почему из леммы Шепарда следует следующее дифференциальное уравнение для функции расходов (рассматриваемой как функция цены первого блага):

∂e

∂p1 = x1(p1, e).

Подставив в это дифференциальное уравнение соотношение из пункта (a), решите его, исходя из того, что η < 1, и покажите, что

				e(p0, x)1−η	−	e(p1	, x)1−η = (1	−	η)(R0)−η	CS,
				1		1
где	CS =		0	x1(t, R0)dt — изменение потребительского излишка, связанное с рассматрива-
			p11
			p1
емым	изменением цены первого блага.
		R

(c) Выразите e(p01, x1) и e(p11, x1) через R0 и эквивалентную вариацию, связанную с рассматриваемым изменением. Покажите, что при η < 1 эквивалентная вариация является функций эластичности, дохода и изменения потребительского излишка следующего вида:

			1 − η			1
	EV = R0	1 +		CS	1−η			R0.
			R0				−

(d)Получите аналогичную формулу для компенсирующей вариации при η < 1, выразив для этого e(p01, x0) и e(p11, x0) через R0 и компенсирующую вариацию.

(e)Получите формулы для эквивалентной и компенсирующей вариаций при η = 1.

/161. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход постоянен и равен R0 , а цена первого блага меняется с p01 до p11 . Непрямая функция полезности потребителя имеет форму Гормана

v(p, R) = a(p) + b(p)R.

(a) Записав определение компенсирующей вариации CV с помощью непрямой функции полезности, покажите, что

v(p11, R0) − v(p11, R0 − CV ) = v(p11, R0) − v(p01, R0).

Выведите отсюда формулу

R0

1

p0

∂v(t, R

0

)

ZR0−CV

∂v(p1, R)

dR =

x1

(t, R0)

dt,

∂R

∂R

Zp11

1

воспользовавшись тождеством Роя.

(b) Приняв во внимание форму непрямой функции полезности, покажите, что

p10

b(t)

CV = Zp11 x1(t, R0)

dt.

b(p11)

(c) Применяя тождество Роя и меняя порядок дифференцирования (

∂

∂

=

∂

∂

), по-

∂p

1

∂R

∂R

∂p

1

кажите, что для непрямой функции полезности указанного вида выполнено

∂b(p1)

∂x1(p1, R)

= −

b(p1).

∂p1

∂R

b(p1)

p1 ∂x1(t,R0)

Решите соответствующее дифференциальное уравнение и выразите

через

Rp11

dt.

b(p11)

∂R

3.A. Дифференцируемость функций спроса

109

(d) Покажите, пользуясь предыдущими результатами, что компенсирующая вариация вы-

числяется по следующей формуле Сида:				∂x1∂R	dt) x1(p1, R0)dp1.
CV =	p1	exp (−	p1
Z	p10	Z	p1	(t, R0)
	1		1

(e) Покажите, что если в рассматриваемом случае эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна η, то формула Сида примет вид:

CV =	R	0	1 − e−			CS .
	η			R0
				η
Подсказка: Введите обозначение
				p1
			Zp11			x1(t, R0)dt
I(p1) = CS(p11, p1) =

ивоспользуйтесь тем, что x1(p1, R0) = I0(p1).

(f)С использованием формулы, выведенной в предыдущем пункте, продемонстрируйте, что компенсирующая вариация и потребительский излишек должны совпадать в случае квазилинейных предпочтений.

Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса

В этом приложении мы приведем условия (в терминах свойств функции полезности), гарантирующие дифференцируемость функции спроса и связанных с ней функций, характеризующих поведение потребителя.

Теорема 37:

Пусть X = Rl+ и пусть, кроме того,

•функция полезности u(·) дважды непрерывно дифференцируема на Rl++ ;

•ru(x) 6= 0 при всех x > 0;

•матрица вторых частных производных функции полезности H(x) является отрицательно определенной при всех x > 0;

•спрос потребителя положителен (x(p, R) > 0) при всех ценах при p Rl++ и доходах

R > 0. Тогда,

(i)функция маршаллианского спроса x(p, R) и непрямая функция полезности v(p, R) непрерывно дифференцируемы по ценам и доходу при p Rl++ , R > 0;

(ii)функция хиксианского спроса h(p, x) и функция расходов e(p, x) непрерывно диф-

ференцируемы по ценам и x при p Rl++ , x Rl++ .

Доказательство: Как было показано в пункте 3.1.2, приведенные предположения гарантируют, что условия Куна — Таккера являются необходимыми и достаточными условиями того, что внутренний потребительский набор является решением задачи потребителя. Также было показано, что при выполнении этих условий множитель Лагранжа положителен. Таким образом, потребительский спрос при ценах p и доходе R определяется следующими уравнениями:

ru(x) − λp = 0;

px − R = 0.

3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя

110

По теореме о неявной функции (см. Приложение ??) функция спроса x(p, R) и множитель Лагранжа как функция цен и дохода λ = λ(p, R) будут непрерывно дифференцируемыми, если матрица

H(xp|	0	!	,
(p, R))	p

является невырожденной. Невырожденность этой матрицы при ценах p и доходе R эквивалентна невырожденности матрицы

	H(x)	(x)|	!
H˜ =	ru(x)	ru0

при x = x(p, R) (см. задачу 177).

Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица ˜ является невырожденной.

H

Предположим противное. Тогда существует такой вектор y и число z , что Hy + zru(x) = 0 и ru(x)y = 0, где (y, z) 6= 0. Случай y = 0 и z 6= 0 невозможен, поскольку ru(x) 6= 0. Если же y 6= 0, то y| Hy + y| ru(x)| z = y| Hy = 0, что противоречит тому, что матрица H отрицательно определенная.

Таким образом, доказано, что функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа λ являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. Поскольку непрямая функция полезности определяется как v(p, R) = u(x(p, R)), а функция полезности и функция спроса непрерывно дифференцируемы, то непрямая функция полезности непрерывно дифференцируема по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, x)) = u(x). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения x(p, e(p, x)) = h(p, x), непрерывной дифференцируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам.

В задаче 178 читателю предлагается доказать непрерывную дифференцируемость функции расходов и хиксианского спроса по x.

Отрицательная определенность матрицы Гессе функции полезности (и, являющаяся следствием строгая вогнутость функции полезности) в этой теореме является слишком ограничительным условием, не имеющим содержательной экономической интерпретации. Это условие несложно заменить на более слабое, некоторый вариант квазивогнутости функции полезности (см. задачу 180).

Приложение 3.B Выявленные предпочтения в модели потребителя

Рассмотрим потребителя, в основе выбора которого лежат неоклассические предпочтения. Предположим, что при некоторых ценах p0 потребитель выбрал набор x0 , и для некоторого допустимого набора x X выполнено p0x 6 p0x0 . Набор x был доступен в данной ситуации выбора, поэтому если бы он был лучше x0 , то это бы противоречило рациональности потребителя. Поэтому должно быть выполнено x 4 x0 . Таким образом, если при ценах p0 выбран набор x0 и выполняется соотношение p0x 6 p0x0 , то это означает, что набор x выявленно не хуже, чем набор x0 .

Пусть, далее, при ценах p0 потребитель выбрал набор x0 , а при ценах p00 потребитель

выбрал набор x00 , причем p0x00 6 p0x0 . Если для некоторого допустимого набора x X выполнено p00x 6 p00x00 , то должно быть выполнено x 4 x0 , поскольку x 4 x00 и x00 4 x0 . Если

3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя

111

бы при этом выполнялось p0x 6 p0x0 , то из этого непосредственно бы следовало x 4 x0 . В этом случае можно сказать, что x непосредственно выявленно не лучше, чем x0 . В противном случае (p0x > p0x0 ) требуется проводить рассуждения по цепочке. В этом случае x косвенным образом (через посредство x00 ) выявленно не лучше, чем x0 .

Рис. 3.11 иллюстрирует случай косвенного выявления предпочтений. На рисунке p0x00 < p0x0 , и поэтому x00 4 x0 , p00x000 < p00x00 , и поэтому x000 4 x00 . Следовательно, x000 4 x0 . Однако,

мы не можем установить этот факт сразу, поскольку x000 не попадает в бюджетный треугольник, заданный сочетанием (p0, x0).

x2

x000

x00 x0

x1

Рис. 3.11. Косвенное отношение выявленного предпочтения

При локальной ненасыщаемости предпочтений если для некоторого допустимого набора

xвыполнено строгое неравенство p0x < p0x0 , то должно быть выполнено x x0 . Поскольку

x4 x0 , то достаточно показать, что x x0 невозможно. Действительно, можно найти такую окрестность набора x, что любой набор из нее можно купить, имея доход p0x0 (это следует из непрерывности функции p0x). В этой окрестности набора x по локальной ненасыщаемости можно найти набор x˜ , который лучше x, и, следовательно, эквивалентного ему набора x0 . Получаем x0 x˜ и p0x˜ < p0x0 , но это невозможно при рациональности потребителя. Соотношение p0x < p0x0 , таким образом, означает, что набор x0 выявленно лучше набора x24.

Несложно распространить эти рассуждения на случай произвольного количества наблюдений за ценами и поведением потребителя при этих ценах. Рассмотрим (pi, xi), i = 1, . . . , n,

где pi — это вектор цен, а xi — выбранный при этих ценах потребительский набор.

Если имеется цепочка pixj 6 pixi , pjxk 6 pjxj , . . ., prxq 6 prxr для подмножества нашего набора данных, i, j, k, . . . , q, r, то должно выполняться xi < xj < xk < · · · < xq < xr . В этом случае набор xi выявленно не хуже, чем набор xr . Такое определение подразумевает, что xi может быть непосредственно (если цепочка включает только xi и xr ) или же косвенно (если цепочка более длинная) выявленно не хуже, чем набор xr . Это многошаговый (усиленный) вариант выявленного отношения предпочтения. Мы будем использовать именно усиленный

вариант и обозначать его	xi	xr .
Если имеется цепочка	pixj 6 pixi , pjxk 6 pjxj , . . ., prxq 6 prxr , где одно из неравенств
строгое, то должно быть	xi	xr . Т. е. здесь набор xi выявленно лучше набора xr . Здесь

(и ниже) мы используем термин «выявленно лучше» тоже в усиленном смысле. Мы будем обозначать это усиленное отношение через xi xr .

24Другой классический вариант строгого отношения выявленного предпочтения основан на свойствах предпочтений, гарантирующих единственность оптимального набора в задаче потребителя. При однозначности выбора p0x 6 p0x0 , означает, что набор x0 выявленно лучше набора x, если эти два набора не совпадают.