15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации

601

/ 650. Рассмотрим ситуацию ценовой дискриминации следующего типа Единственный производитель и продавец частного блага, производство которого характеризуется постоянными издержками. сталкивается с двумя типами покупателей этого блага, оценками которых имеют вид √

vθ(x) = θ x, θ = 1, 2.

Покупатели двух типов встречаются с вероятностями µ и 1 −µ соответственно. Проинтерпретируйте эту модель как модель найма и найдите оптимальный контракт. Проделайте то же самое для трех типов покупателей.

/651. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,

что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = 0,5x2 , работника 2-го типа — c1(x) = x2 . Пусть контракт ищется среди линейных по усилиям схем (базовая заработная плата плюс

премия за усилия, пропорциональная величине усилий).

Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников первого типа. Сравните с оптимальным пакетным контрактом.

/652. На рынке страховых услуг11 имеются два типа страхователей — с низкой µL или высокой µH вероятностью наступления страхового случая. Страховой случай заключается в потере актива ценностью K рублей. Во всех других аспектах они одинаковы — каждый исходно обладает богатством ω (включая рассматриваемый актив) и его предпочтения характеризуются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией u(x) = ln(x), где x — богатство.

На рынке страховых услуг имеется только одна нейтральная к риску страховая компания, предлагающая контракт в виде набора пакетов. (Для упрощения анализа можно считать, что контракт непосредственно задает богатство страхователя, а не платежи, т. е. пакет имеет вид (x1, x2), где x1 — богатство, если страховой случай не наступил, а x2 — если страховой случай наступил).

(А)Сформулируйте задачу страховой компании и проинтерпретируйте ее как задачу нанимателя в модели найма.

(Б) Каким окажется выбранный страховой контракт в случае симметричной информации, т. е. в условиях, когда страховая компания знает тип страхователя? Проиллюстрируйте анализ на графике.

(В) Каким окажется выбранный страховой контракт в случае асимметричной информации, т. е. в условиях, когда страховая знает только распределение вероятностей типов страхователя? Проиллюстрируйте анализ на графике.

15.4Модель найма со скрытой информацией: конкуренция среди нанимателей

Вэтом параграфе мы откажется от сделанного ранее предположения о монопольном положении нанимателя и будем считать, что существует по крайней мере два нанимателя, предлагающие контракты работникам, тип которых они не наблюдают.

Будем считать, что другие характеристики ситуации найма остаются без изменения. В частности, как и раньше, будем предполагать, что результат усилий работника не зависит от его типа. Это предположение позволяет рассматривать контракты, обуславливаемые только уровнем усилий (но не результата).

Вэтой случае игра имеет вид:

0.«Природа» выбирает тип работника.

11См. J. E. Stiglitz: Monopoly, Non-Linear Pricing and Imperfect Information: The Insurance Market, Review of Economic Studies 44 (1977): 407–430.

15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации

602

1.Наниматель j , не зная типа, предлагает ему контракт wj(·), причем все наниматели выбирают контракт одновременно.

2.Работник (зная свой тип) решает, подписывать ли ему контракт или нет, и если подписывать, то какой из двух.

3.Если работник подписывает j -й контракт, то он (зная свой тип) выбирает уровень усилий x.

			θ Θ	Природа
Наниматель 1			w1(·)
Наниматель 2			w2(·)	Работник
0
0
0	− 0	x1θ		w2	x2θ
					(x2θ)−cθ(x2θ)
x1θ	w1	(x1θ)		x2θ−w2		(x2θ)
w1(x1θ)−cθ(x1θ)					0

Рис. 15.22. Представление модели найма со скрытой информацией при конкуренции нанимателей в виде дерева

Охарактеризуем возможные равновесия данной игры — равновесные контракты модели найма при конкуренции нанимателей, — ограничившись характеристикой равновесных пакетов.

Полную игру для целей анализа заменим следующей упрощенной игрой:

0.«Природа» выбирает тип работника.

1.Наниматели одновременно предлагают работнику пакеты (wjθ, xjθ).

2.Работник решает, подписывать ли ему контракт или нет, и если подписывать, то какой из пакетов выбрать.

Мы опускаем формальное доказательство того, что описанные игры в определенном смысле эквивалентны. Такое доказательство можно построить, пользуясь идеями предыдущего параграфа.

Будем предполагать в дальнейшем, что равновесие в игре таково, что в нем работник обязательно подписывает один из предложенных контрактов (ограничение участия выполнено).

Анализируя такую игру с использованием обратной индукции, получим, что равновесные пакеты (¯xjθ, w¯jθ) характеризуются следующими свойствами:

Работник выбирает (из всех пакетов всех нанимателей) пакет (wjθ, x¯jθ), дающий ему максимальную полезность:

w¯jθ − cθ(¯xjθ) > w¯iϕ − cθ(¯xiϕ), θ, ϕ Θ, i = 1, 2.

При использовании обратной индукции в этом месте возникает неоднозначность в случае, когда работнику безразлично, пакет какого нанимателя выбрать. Сделаем предположение

15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации

603

(аналогичное предположению модели Бертрана), что в этом случае работник использует смешанную стратегию, выбирая нанимателей с одинаковой вероятностью.

Наниматель j предлагает набор пакетов (w¯jθ, x¯jθ), дающий ему максимальную ожидаемую прибыль при данном наборе пакетов конкурента.

Для того чтобы упростить анализ, будем предполагать, что функции издержек строго выпуклы.

Прежде, чем рассмотреть модель с ненаблюдаемыми типами, проанализируем ситуацию, когда тип работника известен работодателю. Покажем, что в этом случае решение игры (равновесные пакеты (w¯jθ, x¯jθ)) имеет вид:

x¯jθ = x¯θ = xˆθ,

w¯jθ = w¯θ = x¯θ,

где

xˆθ = argmax{x − cθ(x)},

x

Доказательство этого факта проведем в 2 этапа. Во-первых, покажем, что прибыль каждого нанимателя от найма работника любого типа равна нулю. Пусть это не так, и существует наниматель (например, j = 1) и тип работника, такие что от сделки с этим работником этот наниматель получает положительную прибыль (Π1 > 0). Здесь может быть два случая: (1) 2-й наниматель предлагает невыгодный работнику контракт и, следовательно, получает нулевую прибыль и (2) работник безразличен между предлагаемыми двумя контрактами. Во втором случае оба нанимателя получают одинаковую положительную прибыль (Π1 = Π2 > 0).

Тогда 2-й наниматель мог бы предложить этому работнику пакет с тем же уровнем усилий, но несколько более высокой оплатой. Работник тогда выбрал бы пакет, предлагаемый 2-м нанимателем, который получил бы при этом прирост прибыли. В случае (1) в первом приближении прибыль станет равной Π1 , а в случае (2) — 2Π1 = 2Π2 .

Таким образом, в исследуемом равновесии прибыль каждого нанимателя от найма работника любого типа равна нулю, и, следовательно, оплата усилий равна производимому работником доходу:

w¯jθ = x¯jθ.

Во-вторых, покажем, что наниматели предлагают работнику типа θ пакет, обуславливающий уровень усилий

x¯jθ = x¯θ = xˆθ.

Действительно, если это не так и, например, первый наниматель предлагает пакет (w¯jθ, x¯jθ) такой, что

= (ˆxθ − cθ(ˆxθ)) − x¯jθ − cθ(¯xjθ) > 0.

Но тогда пакет (ˆxθ − /2, xˆθ) предпочитается работником типа θ и дает предложившему ему нанимателю более высокую прибыль, чем (w¯jθ, x¯jθ). Но такая ситуация не может возникнуть при равновесии.

Поскольку каждая из рассматриваемых задач имеет единственное решение при строгой выпуклости издержек, то в равновесии все фирмы предлагают работнику каждого из типов θ одинаковые контракты: x¯jθ = xˆθ j .

Сравнивая это решение с монопольным случаем, отметим, что равновесные пакеты в данном случае характеризуются тем же объемом усилий, но более высокими уровнями оплаты. Мы предполагаем здесь, что рассматривается случай, когда оптимальный «монопольный» пакет дает нанимателю положительную прибыль.

15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации

604

c3(x)+¯x3−c3(¯x3)

c2(x)+¯x2−c2(¯x2)

w¯3=ˆx1

w¯2=ˆx2

w¯1=ˆx3

c1(x)+¯x1−c1(¯x1)

x

x¯1=ˆx1 x¯2=ˆx2 x¯3=ˆx3

Рис. 15.23. Равновесные пакеты при наблюдаемости типов, 3 типа работников

Равновесие оказывается оптимальным по Парето, поскольку благосостояние

X

W = µθ(xθ − cθ(xθ))

θ Θ

в нем достигает максимума.

Покажем, что эти же пакеты (ˆxθ, xˆθ) составляют единственное равновесие при ненаблюдаемости типов. Докажем, что это равновесие. Во-первых, для этих контрактов выполнены условия совместимости стимулов, т. е.

w¯θ − cθ(¯xθ) > w¯ϕ − cθ(¯xϕ), θ, ϕ Θ,

поскольку в данном случае они имеют вид

xˆθ − cθ(ˆxθ) > xˆϕ − cθ(ˆxϕ), θ, ϕ Θ.

Справедливость неравенства следует из определения xˆθ .

Во-вторых, ни одна из фирм не может предложить систему пакетов, которая дала бы ей положительную ожидаемую прибыль. Пусть это не так. Тогда эта альтернативная система пакетов содержит пакет, для которого прибыль положительна, и работник одного из типов, например θ, получает от этого пакета более высокую полезность, чем от пакета (ˆxθ, xˆθ). Этого быть не может, поскольку сумма прибыли фирмы и полезности работника этого типа от любого пакета (w, x) составляет величину x − cθ(x), не превышающую xˆθ − cθ(ˆxθ) по определению xˆθ .

Осталось показать, что других равновесий нет.

Ограничимся анализом ситуации с двумя типами работников и двумя нанимателями. Как и в ситуации с единственным нанимателем, мыслимы два типа равновесий: разделя-

ющие равновесия и объединяющие равновесия. Таким образом, мы должны показать, что в данной ситуации объединяющих равновесий не существует, а любое разделяющее равновесие совпадает с описанным равновесием (равновесием при наблюдаемости типов).

Установим сначала ряд свойств равновесий в ситуации с ненаблюдаемыми типами.

♣ Если пакеты (w¯jθ, x¯jθ) являются равновесными, то ожидаемая прибыль каждого нанимателя равна нулю.

Во-первых, в равновесии ожидаемая прибыль каждого нанимателя неотрицательна, поскольку он всегда может предложить непривлекательные пакеты и получить по крайней мере нулевую прибыль.