5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

171

Экономика распределения

Следующую модель равновесия5 для экономики без производства нельзя назвать в полном смысле моделью функционирования рыночной экономики, поскольку, по существу, доходы потребителей в ней формируются государством и совокупные начальные запасы ωΣ принадлежат государству (как вариант, можно считать, что это сумма начальных запасов и заданного экзогенно совокупного чистого выпуска в экономике с производством). Мы изложим ее в основном для того, чтобы потом использовать в задачах.

В экономике распределения (в отличие от экономики обмена) задается вектор совокупных начальных запасов ωΣ и доход Ri каждого потребителя, т. е.

ED = {Xi, ui(·)}i I , ωΣ, {Ri}i I

Определение 47:

Под общим равновесием в экономике распределения мы будем понимать пару (p, x¯) = (p, {x¯i}i I ), такую что:

Ôp Rl+ ,

Ôкаждый вектор x¯i является решением задачи потребителя при ценах p и доходах Ri ,

Ôсостояние x¯ является допустимым, в частности, выполнены балансы по благам, т. е. для

всех k K

XX

x¯ik =	ωik.
i I	i I

P

Ô pωΣ = i I Ri .

5.2.3Некоторые свойства общего равновесия

Установим некоторые свойства равновесия, которые нам понадобятся в дальнейшем. При этом речь пойдет об общей модели экономики с производством и с трансфертами.

Простейшим свойством общего равновесия является то, что бюджетные ограничения всех потребителей выполняются как равенства. Действительно, сумма доходов потребителей равна

		X		X		Xi I jX			X
			βi = pωi +				γijpyj + Si =
		i I		i	I		J		i	I
= p		ωi + yj				γij = p			ωi + yj		= p xi,
	X		jX Xi I				X X				Xi I
		I		J				I
	i						i		j	J

где последнее равенство («закон Вальраса») является следствием выполнения балансов по благам. Таким образом, сумма доходов всех потребителей равна совокупным потребительским расходам. Это тождество выполняется для любого допустимого состояния экономики при любом векторе цен. Если бы хоть один потребитель не полностью израсходовал свой доход, то, сложив бюджетные ограничения, мы получили бы

XX

p¯ x¯i <	βi,
i I	i I

ипришли бы к противоречию. Поэтому в равновесии p¯x¯i = βi для любого потребителя i I .

Вдальнейшем мы будем использовать также дифференциальные свойства равновесия. Пусть функции полезности и производственные функции дифференцируемы, равновесие

является внутренним (по потреблению, т. е. x¯i int Xi i I ), и в точке равновесия выполнено

rui(x¯i) 6= 0 i I.

5См. Маленво???

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

172

Тогда существуют блага, цена которых не равна нулю. Поскольку потребительский набор x¯i — решение задачи потребителя, а технология y¯j — решение задачи производителя, то выполняются следующие соотношения, называемые дифференциальной характеристикой равновесия:

		p¯s		=		∂ui(x¯i)/∂xis		, i I,
		p¯k				∂ui(x¯i)/∂xik
	p¯s			=	∂gj(y¯j)/∂yjs			, j J,
	p¯k				∂gj(y¯j)/∂yjk

где k — благо с ненулевой ценой.

Это необходимое условие равновесия. Из него следует, что в равновесии предельные нормы замещения (трансформации) любых двух благ s, k для всех экономических субъектов совпадают. Так, на Рис. 5.1 в точке равновесия кривые безразличия касаются общей бюджетной прямой, а на Рис. 5.2 бюджетной прямой касаются граница производственных возможностей и кривая безразличия.

Другое необходимое условие равновесия, о котором говорилось выше, состоит в том, что бюджетные ограничения всех потребителей выполняются как равенства.

Выполнение этих двух условий для набора (p¯, x¯, y¯), где (x¯, y¯) — допустимое состояние экономики, p¯ — вектор цен, не гарантирует, что этот набор представляет собой равновесие. Необходимые условия требуется дополнить условиями второго порядка — например, предположением о вогнутости функций полезности и производственных функций, чтобы превратить их в достаточные. Более подробно эти условия анализируются ниже при доказательстве второй теоремы благосостояния для дифференцируемых функций.

5.2.4Избыточный спрос

Отображение избыточного спроса E(·) сопоставляет каждому вектору цен превышение совокупного спроса над совокупным предложением при этих ценах. Можно переформулировать определение равновесия в терминах избыточного спроса, поскольку, как нетрудно понять, в равновесии избыточный спрос должен быть равен нулю. Таким образом для равновесных цен p¯ выполнено 0 E(p¯). В ситуации же, когда избыточный спрос определяется однозначно, равновесные цены удовлетворяют системе уравнений E(p¯) = 0.

Для модели обмена отображение избыточного спроса строится следующим образом. Пусть при ценах p отображение спроса i-го потребителя есть xi(p, βi). Поскольку βi = pωi , то будем рассматривать спрос как функцию только цен, т. е. xi(p) (в прежних обозначениях xi(p, pωi)). Тогда избыточный спрос потребителя при этих ценах представляет собой превышение спроса над начальными запасами потребителя при данных ценах. Избыточный спрос для всей экономики есть сумма избыточных спросов всех потребителей. Таким образом, отображение избыточного спроса в модели обмена имеет вид E(p) = Pi I (xi(p) − ωi).

Аналогичным образом определяется избыточный спрос в модели Эрроу — Дебре. Кроме начальных запасов и спроса следует учитывать также предложение благ, yj(p). Спрос потребителя при данных ценах здесь также можно представить в виде xi(p) (в прежних обозначениях

P

xi(p, pωi + j J γijπj(p))).

Определение 48:

Функцией (отображением) избыточного спроса в модели Эрроу — Дебре называется функция (отображение)

XX

E(p) =	xi(p) − ωi − yj(p).
i I	j J

Областью определения служит множество таких цен, при которых задачи производителей и потребителей имеют решения.

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

173

Убедимся, что равновесными цены p могут быть тогда и только тогда, когда они удовлетворяют условию 0 E(p).

Действительно, пусть 0 E(p). Это означает, что существуют потребительские наборы x¯i и технологии y¯j , такие что x¯i xi(p) и y¯j y(p), другими словами, для всех i I набор

x¯i является решением задачи i-го потребителя при ценах p и доходе pωi +										j J γijpy¯j , для
всех	j		J	чистый выпуск	y¯	j является решением задачи	j	-го	производителя при ценах p, и
										P

выполнено

XX

i I	(x¯i − ωi) − y¯j = 0.
	j J

Значит, (p, x¯, y¯) по определению является равновесием.

С другой стороны, если (p¯, x¯, y¯) — равновесие, то x¯i xi(p¯) для всех i I , y¯j y(p¯) для всех j J , и

XX

0 =	(x¯i − ωi) − y¯j E(p¯).
i I	j J

Рассмотрим другие свойства избыточного спроса.

Поскольку функции (отображения) спроса и предложения положительно однородны нулевой степени, т. е. при α > 0 выполняется

xi(αp, αβ) = xi(p, β), yj(αp) = yj(p),

то, как несложно проверить, функции (отображения) избыточного спроса также положительно однородны нулевой степени:

E(αp) = E(p).

Как мы видели, в равновесии выполняется закон Вальраса. Другими словами, в равновесии стоимость избыточного спроса в равновесных ценах равна нулю (поскольку сам избыточный спрос равен нулю).

Закон Вальраса, вообще говоря, выполняется не в любой экономике и не при любых ценах. Однако, если предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то отображение избыточного спроса удовлетворяет закону Вальраса. Действительно, для любого вектора цен и любого по-

требителя с локально ненасыщаемыми предпочтениями выполнено pxi = pωi +

j J γijπj(p)

для всех

x

i

x

(p)

, т. е. выполнено бюджетное равенство (закон Вальраса для

спроса отдель-

i

P

ного потребителя). Сложив эти тождественные соотношения, получим p i I xi

= p i I ωi +

p

P

y

j для всех

x

i

x

(p)

и

y

j

y

(p)

которых

j J

i

j

. Таким образом, при любыхPценах, дляP

определена величина избыточного спроса, если e E(p), то pe = 0.

Если E(·) — функция, то pE(p) = 0 при любых ценах, для которых определена величина избыточного спроса.

5.2.5Задачи

/255. Назовите наиболее важные черты, по которым рынок называют совершенным или классическим: 1) от чего зависят предпочтения и потребительские множества, 2) влияние экономических субъектов на цены, 3) определенность информации, 4) влияние издержек сделок, 5) существование рынков.

/256. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности имеют вид

ui(xi1, xi2) = min{xi1, xi2},

и начальные запасы равны ω1 = (a, 0) и ω2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой экономике. При каких условиях оно единственно?

5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)

174

/ 257. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности имеют вид

u1(x11, x12) = min{x11, x12}, u2(x21, x22) = x21x22

и начальные запасы равны ω1 = (a, 0) и ω2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой экономике. Покажите, что оно единственно.

/ 258. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности имеют вид

u1(x11, x12) = α1x11 + β1x12, u2(x21, x22) = α2x21 + β2x22,

и начальные запасы равны ω1 = (a, 0) и ω2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой экономике. Покажите, что оно единственно.

/ 259. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности имеют вид

u1(x11	, x12) = x2	+ x2	, u2(x21, x22) = x21 + x22,
	11	12

и начальные запасы равны ω1 = (a, 0) и ω2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой экономике или докажите, что оно не существует.

/ 260. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности имеют вид

u1(x11, x12) = x11x12, u2(x21, x22) = x21 + x22,

и начальные запасы равны ω1 = (a, 0) и ω2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой экономике. Покажите, что оно единственно.

/ 261. Рассмотрим экономику обмена с двумя товарами и двумя потребителями, которые имеют следующие функции полезности и начальные запасы.

1

−

12

3

1

u1(x1, y1) = −

, ω1

= (1, 0),

x12

37

y12

12

3

1

1

u2(x2, y2) = −

−

, ω2

= (0, 1).

37

x22

y22

Найдите равновесие в этой экономике. Единственно ли оно?

/ 262. Пусть функция избыточного спроса имеет вид

E1(p1, p2) = −

p2

, E2(p1, p2) = −

p1

p1 + p2

p1 + p2

а) Является ли она однородной? б) Является ли она непрерывной?

в) Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?

/ 263. Пусть функция избыточного спроса имеет вид

E(p) = ppaωa − ω,

где a Rl++ . Является ли она однородной? Является ли она непрерывной? Выполняется ли для нее закон Вальраса? Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?

/ 264. Пусть функции избыточного спроса на первые два товара в экономике с тремя благами имеют вид

E1(p) = −p1/p3 + p2/p3 + 1 и E2(p) = p1/p3 − 2p2/p3 + 2.

Найдите избыточный спрос на третий товар.