9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

328

Впредположении убывающей предельной полезности и убывающей отдачи от масштаба выражение слева должно быть положительным. Мы пришли к противоречию. Значит, при R = 0 множитель Лагранжа λ должен быть равен нулю. При этом все ставки налогов должны быть нулевые. (Этим мы попутно доказали, что перераспределение между рынками с помощью налогов, т. е. субсидирование одних рынков за счет других, неэффективно.)

Впервом приближении при R близком к нулю мы можем записать

tk ≈ λxk(−vk00(xk) + c00k(xk)),

кроме того, дифференцируя условия равновесия, получаем

dtk = dxk(−vk00(xk) + c00k(xk)),

При малых налогах (dtk ≈ tk ) из этого следует, что

dxk ≈ λ. xk

Таким образом, в первом приближении оптимальные налоги снижают объемы потребления (и производства) всех благ в равной пропорции.

Кроме того, малые оптимальные налоги (налоги при R близком к нулю) можно выразить через эластичности спроса и предложения в равновесии без налогов:

pkL ≈ λ	|εkD| +		εkS ! .
tk	1		1

Таким образом, правило оптимального налогообложения Рамсея заключается в том, что относительные ставки налогов должны быть (в первом приближении) пропорциональны сумме обратных эластичностей спроса и предложения на соответствующих рынках:

tk		1	+	1	.
pkL		|εkD|		εkS

Существенным ограничением данного правила является то, что предполагается независимость рынков (формально — сепарабельность). Если отказаться от этого предположения, то в формуле появятся перекрестные эластичности.

Другое существенное предположение изложенной модели — квазилинейность предпочтений. Различные правила налогообложения Рамсея получаются в рамках модели общего равновесия и при других упрощающих предположениях. В следующем параграфе мы рассмотрим одну из таких моделей.

9.4.1Задачи

/ 444. Рассмотрите экономику обмена с двумя видами благ (x и y) и двумя потребителями (1 и 2), где каждый потребитель имеет функцию полезности ui = ln(xi) + ln(yi) и начальные запасы ωi = (ωix, ωiy). Государство собирает адвалорный налог на продажу благ. Цель государства состоит в том, чтобы на собранные средства приобрести по рыночным ценам благо x в количестве x0 и благо y в количестве y0 . Предполагаем, что с собственных закупок государство налог не взимает.

(А) Всегда ли государство может добиться своей цели?

(В) Может ли случиться так, что равновесие с налогами будет Парето-оптимальным (Па- рето-оптимальным с учетом того, что государство должно получить x0 и y0 благ x и y)?

/ 445. Рассмотрим экономику обмена с двумя потребителями и двумя благами (A и B). Функции полезности потребителей: u1 = 2 ln a1 + b1u2 = ln a2 + b2 , где ai — потребление блага A, а

9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

329

bi — потребление блага B i-м потребителем. Начальные запасы благ: ω1 = (2, 3), ω2 = (3, 2). Вводится натуральный налог на потребление блага A, так что i-й потребитель потребляет после уплаты налога ai(1 − τi) блага A, где τi — ставка налога. Соответственно. государство собирает в форме налога a1τ1 + a2τ2 блага A.

(А) Найти равновесие, которое возникнет после введения налога (ai , bi и отношение цен pA/pB ).

(В) Найти Парето-оптимум, учитывая, что заданное количество (a0 ) блага A должно уйти государству. При каком распределении налога равновесие будет Парето-оптимальным?

/ 446. В квазилинейной экономике есть 2 потребителя с функциями полезности u1 = √x1 + z1, u2 = √x2 + z2

ипредприятие с функцией издержек c(y) = 2y.

(A)Вводится адвалорный налог на потребление 1-го блага со ставкой τ . Найдите конкурентное равновесие в экономике (p, x1, x2, y) как функцию величины τ .

(B)Пользуясь результатами пункта (A), найдите чистые потери благосостояния от налога при ставке τ = 1 (т. е. 100%).

/ 447. В экономике производится один предмет потребления, y, спрос на который образуется

в результате максимизации следующей функции полезности репрезентативного потребителя:

√

u(y, x) = 2 y + 1 + x, где x — потребление свободного времени. Потребитель владеет единичным запасом времени, который он распределяет между рабочим временем L и свободным временем x. Рабочее время предлагается единственной фирме, которая производит y по технологии y = ln(2L) + 3. Вычислите чистые потери от введения 50%-го налога на продажу предмета потребления (продажная цена производителя равна половине цены, которую платит покупатель). Заработную плату примите за 1.

/448. Рассмотрите модель оптимального налогообложения Рамсея в ситуации двух независимых рынков. На первом рынке спрос равен D = 10 − p, а предложение равно S = 1 + p. На втором рынке спрос равен D = 10 − p/2, а предложение равно S = 1 + p/2.

(А)Запишите условия первого порядка для оптимальных налогов (не исключая множитель Лагранжа)

(В) Во сколько раз отличается налог на одном рынке от налога на другом.

/449. В ситуации частного конкурентного равновесия государству требуется собрать налоги общей величины R с n независимых рынков. Оно использует налог с единицы товара со

ставкой ti (i = 1, . . . , n). Функции спроса и предложения линейны: Si = ai + bip и Di = ci −dip. Задача состоит в том, чтобы распределить налоги по рынкам так, чтобы общие потери благосостояния были минимальными.

Как ставка налога на данном рынке зависит от наклона кривых спроса и предложения? (Подсказка: не следует исключать из соответствующих условий первого порядка множитель Лагранжа.)

/450. Задача Рамсея выбора ставок налогов состоит в том, чтобы при сохранении величины налоговых сборов. . .

а) минимизировать чистые потери, б) минимизировать потери потребителя, в) максимизировать объем продаж, в) максимизировать прибыль.

Ее решение предписывает установить большие ставки налогов в тех отраслях (допишите)

. . . . . . . . . . . . . . .

/451. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Пусть эластичность спроса в точке равновесия |ε| = 3, предельные издержки у всех производителей постоянны и одинаковы и правительство устанавливает налог в размере $6 с единицы товара. Если спрос — линейная

9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей

330

функция, то насколько поднимется цена? А в случае спроса с постоянной эластичностью |ε| = 3?

/452. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 − p, предложение имеет вид S = 3 + p. На этом рынке вводится налог на потребление в размере 50% цены. Найдите чистые потери благосостояния от введения налога.

/453. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 − p, предложение бесконечно эластично. На этом рынке вводится налог в размере 2 ед. на единицу товара. Найдите потери потребителей от введения налога, если до введения налога объем торговли на рынке был равен 4 ед.

9.5Правило оптимального налогообложения для «малых» потребителей

Пусть в экономике имеется большое число потребителей, предпочтения которых задаются строго вогнутыми, достаточно «гладкими» функциями полезности ui(xi). Предположим, что последнее (l-е) благо — это время потребителя, так что xil — это досуг потребителя, а ωi − xil — предложение труда, где ωi — запас времени потребителя. Допустимые потребительские наборы задаются ограничениями xik > 0, k и xil 6 ωi .

Потребители могут получать доход от продажи труда, а также из прибылей принадлежащих им фирм и от государства в виде трансфертов. Не специфицируя остальную часть экономики (производство, поведение государства), охарактеризуем внутреннее равновесие с индивидуальными налогами ti на покупку благ потребителями, являющееся оптимумом второго ранга. Пусть при данной системе налогов t = {ti} равновесные цены равны p(t).

Будем предполагать, что каждый потребитель мал в том смысле, что влиянием величины его индивидуальных налогов ti на равновесные цены p(t) можно пренебречь. Это предположение позволяет вывести условия оптимальности налогов t на основе анализа отдельного потребителя при фиксированных рыночных ценах p и фиксированной величине суммы налогов, выплачиваемой этим потребителем14.

Напомним, что в модели с налогами на покупку благ бюджетное ограничение потребителя i имеет вид (если есть доходы от фирм, то они добавляются к Si )

X (pk + tik)[xik − ωik]+ + pk[xik − ωik]− 6 Si, k K

Предположим, что потребитель продает труд (l-е благо). Поскольку все блага, кроме l-го, покупаются на рынке, то они облагаются налогами. Труд, соответственно, не облагается налогом. Бюджетное ограничение в данном случае записывается в виде

l−1	l
X	X
	(pk + tik)xik + plxil = (pk + tik)xik 6 plωi + Si.
k=1	k=1

т. е. оно имеет такой же вид, как и с налогами на потребление, с тем исключением, что ставка налога на досуг равна нулю (til = 0). В дальнейшем мы абстрагируемся от того, что рассматривается налог на покупки, и будем действовать так, как если бы это был налог на потребление.

14Эта модель впервые была проанализирована Полом Самуэльсоном в 1951 г. в его докладе Министерству финансов США (перепечатан в P. A. Samuelson: Theory of Optimal Taxation, Journal of Public Economics 30 (1986): 137–143). В литературе по оптимальному налогообложению полученные Самуэльсоном результаты принято называть «правилом Рамсея». При изложении модели обычно делается предположение, что все потребители одинаковы, хотя, как очевидно из нашего анализа, важна только неизменность цен. Анализ Самуэльсона был распространен на случай экономики с производством и меняющимися ценами в статье P. A. Diamond and J. A. Mirrlees: Optimal Taxation and Public Production. I: Production Efficiency, and II: Tax Rules, American Economic Review 61 (1971): 8–27, 261–278.

9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей

331

Прежде, чем анализировать этот случай, рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой можно устанавливать налоги на потребление всех благ, включая досуг.

Рассмотрим задачу максимизации полезности потребителя при дополнительных ограничениях, что потребительский набор представляет собой спрос потребителя при данных ставках налогов (xi = x¯i(ti)), и что требуется собрать фиксированную сумму налогов Ri (она равна фактически собираемому в равновесии налоговому доходу). Если налоги оптимальны, то они являются решением указанной задачи. В противном случае на основе решения данной задачи можно построить Парето-улучшение для экономики в целом (в смысле оптимума второго ранга).

Выпишем эту задачу формально, опуская для упрощения записи индекс потребителя:

u(x¯(t)) →		t	(	D	)
		max
tx¯(t) > R,
где x¯(t) является решением задачи потребителя при ценах p и налогах t:
u(x) →	max
		x

(p + t)x 6 β = plω + S.

Функция x¯(t) связана с обычной функцией потребительского спроса соотношением x¯(t) = x(p + t, β).

Условия первого порядка для внутреннего решения задачи потребителя имеют вид

∂u(x¯(t)) = ν(pk + tk) ∂xk

или, в векторных обозначениях,

ru(x¯(t)) = ν(p + t),

где ν — множитель Лагранжа бюджетного ограничения.

В равновесии бюджетное ограничение выполняется как равенство, т. е. x¯(t) удовлетворяет тождеству

l

X

(p + t)x¯(t) = (ps + ts)¯xs(t) = β.

s=1

Дифференцируя это тождество по tk (здесь мы предполагаем, что функция x¯(t) дифференцируема), получим

	l	∂x¯s(t)
	sX			= −xk(t).
		∂tk
	(ps + ts)
	=1

Подставляя условия первого порядка, получим соотношение, которое характеризует изменение полезности потребителя при малом изменении ставки налога на k-е благо:

l

X ∂u ∂x¯s

s=1 ∂xk ∂tk = −νx¯k.

Используя полученные соотношения, охарактеризуем теперь решение задачи (D), и, тем самым, оптимальные ставки налогов. Функция Лагранжа для задачи (D) имеет вид

L = u(x¯(t)) + λ(tx¯(t) − R).

Условия первого порядка для решения:

∂L

∂tk

l

=

X ∂u ∂x¯s

s=1 ∂xk ∂tk

l

X ∂x¯s

+ λ s=1 ts ∂tk + x¯k = 0.

9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей

332

Подставляя полученные выше характеристики решения задачи потребителя, преобразуем эти условия к виду:

l	∂u ∂x¯s				l	∂x¯s
sX				= λ	X		.
	∂xk ∂tk				ps	∂tk
=1					s=1

Запишем эти соотношения в матричном виде:

rx¯(t)ru = λrx¯(t)p,

где rx¯(t) — матрица частных производных {∂x¯s/∂tk}. Если это невырожденная матрица, то можно записать условия оптимальности налогов как

ru = λp.

Поскольку

ru = ν(p + t),

то

λp = ν(p + t)

или

t = λ −ν ν p.

Таким образом, оптимальные налоги на потребление должны быть униформными. Этот вывод совпадает с полученным выше в посвященном таким налогам параграфе.

Пусть теперь tl = 0. Ясно, что с этим ограничением (при «гладкой» функции полезности) налоги не могут быть оптимальными, поскольку не являются униформными. Этот факт иллюстрирует Рис. 9.7.

x2
x¯0	x¯
x¯00
		I
B0	B	I0
		B
β/(p1+t1)		β/p1	x1

Рис. 9.7. Неоптимальность неуниформного налога

Введение налога на благо 1 вызывает поворот бюджетной прямой (B → B0 ) и переход потребителя к новому равновесию (x¯ → x¯0 ). Рассмотрим «бюджетную прямую» B , параллельную первоначальной (B ) и проходящую через точку равновесия, как если бы ввели эквивалентный аккордный налог (или униформные налоги на потребление). Поскольку вспомогательная бюджетная прямая пересекает кривую безразличия, то соответствующее решение задачи потребителя x¯00 обеспечивает потребителю более высокую полезность, чем x¯0 , без снижения величины налога. На рисунке направление такого «Парето-улучшения» показано стрелкой.

9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей

333

При tl = 0 в задаче (D) появляется дополнительное ограничение. Условия первого порядка

l	∂u ∂x¯s			l	∂x¯s
sX				X		+ x¯k) = 0,
	∂xk ∂tk			+ λ( ts	∂tk
=1				s=1

в этом случае должны выполнятся для всех благ, кроме l-го. Если подставим в них полученные выше характеристики решения задачи потребителя, то получаем соотношение

				l	∂x¯s
	−νx¯k + λ(		sX				+ x¯k) = 0 k 6= l
				=1 ts ∂tk
	или
	l	∂x¯s		t =		λ − ν		x¯ k = l.
	sX			s −			λ k 6
	=1 ∂tk

Здесь мы воспользовались тем, что ограничение по сбору налогов существенно, т. е. λ > 0, и x¯k > 0 (равновесие внутреннее). Последнее слагаемое здесь равно нулю, поэтому

l−1	∂x¯s	t =	λ − ν	x¯ .
sX
		s − λ k
=1 ∂tk

Производные функции x¯(t) равны соответствующим производным обычной функции спроса по ценам. Следовательно,

l−1	∂xs	t =	λ − ν	x¯ .
sX
		s − λ k
=1 ∂pk

Если предпочтения потребителя гомотетичны, то

∂xs = ∂xk k, s, ∂pk ∂ps

и можно записать это соотношение как

l−1

∂xs ts

= l−1

∂xk ps ts

=

λ − ν

.

X

sX

− λ

s=1 ∂pk xk

=1 ∂ps xk pk

или, с использованием эластичностей спроса по ценам, εks ,

	l−1	ε	ts	=	λ − ν	.
	sX
		ks pk		− λ
	=1

Если же функция полезности потребителя квазилинейна по труду и сепарабельна, на спрос потребителя на отдельное благо влияет только налог на это благо. При этом все перекрестные производные равны нулю и условие оптимальности имеет очень простой вид:

	tk	=	λ − ν		1	,
	pk		λ	|εk|

т. е. относительные (адвалорные) налоги должны быть обратно пропорциональны эластичностям.

В общем случае симметричность производных не выполнена, однако можно перейти к хиксианскому спросу, для которого эта симметричность имеет место.

Напомним, что уравнение Слуцкого имеет вид

∂xs	=	∂hs		− xk	∂xs	k, s,
∂pk			∂pk		∂β

9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей

334

где hk(·) — функция хиксианского спроса на благо k. Подставляя ∂xs/∂pk в характеристику оптимальных налогов, получаем

l−1 ∂hs t =

x = λ − αx ,

l−1 ∂xs t

λ − ν

sX

X

=1 ∂pk

s

s=1 ∂β s −

λ

k

− λ

k

где

l−1

∂xs

α = λ

ts + ν

=1

∂β

не зависит от k. Таким образом,

sX

l−1 ∂hs t = l−1

S t = l−1

S t = λ − αx¯

X

s

X

sk s

sX

ks s

−

k

s=1 ∂pk

s=1

=1

λ

или

l−1

εh

ts

=

λ − α

,

sX

ks ps

−

λ

=1

где Sks = ∂hs/∂pk — коэффициент замены Слуцкого (Ssk = Sks ), а

εksh	= −	∂hk ps			—
		∂ps xk

эластичность хиксианского спроса на k-е по цене s-го блага.

Взяв полный дифференциал от хиксианского спроса hk(p + t, u), получим, что изменение спроса за счет эффекта замены равно

l−1

X ∂hk dhk = s=1 ∂ps dts

В случае, когда налоги малы (dtk ≈ tk ), можно воспользоваться полученным условием оптимальности:

dh = l−1				∂hk		dt			λ − α	x
	k	sX					s ≈ − λ k
		=1 ∂ps
откуда			dhk					λ − α
									.
			xk ≈ −
								λ

Т. е. следствием введения малых оптимальных налогов является сокращение спроса за счет эффекта замены на все облагаемые блага в одинаковой пропорции. Поскольку в квазилинейной экономике эффект дохода равен нулю для всех благ, кроме последнего, то dhk = dxk и

dxk ≈ −λ − α. xk λ

В случае гомотетичных предпочтений эта характеристика тоже имеет место, поскольку изменение спроса на отдельное благо за счет эффекта дохода пропорционально величине спроса на это благо.

Рассмотрим теперь в экономику, в которой имеется 3 блага (l = 3), и третье благо (досуг)

не облагается налогом. Тогда

εh11τ1 + εh12τ2 = −λ −λ α, εh21τ1 + εh22τ2 = −λ −λ α,