15.3. Модель найма со скрытой информацией |
595 |
15.3.2Модель найма с асимметричной информацией при монопольном положении нанимателя: общий случай
Предположим, что результат усилий x X работника — доход y˜(x), представляющий собой случайную величину, распределение которой (Fx ) зависит от x, но не зависит от типа (Fxθ = Fx θ). Будем считать, что ожидаемый доход y(x) = Ex y˜(x) — монотонно возрастающая вогнутая функция уровня усилий, причем y(0) = 0.
Предположение о независимости распределения дохода от типа существенно упрощает анализ, поскольку в этом случае величина дохода не дает нанимателю информации о типе работника. При этом предположении естественно считать, что контракт — это функция только от усилий, но не от y˜ : w = w(x).
Наниматель имеет право претендовать на весь доход (за вычетом оплаты по контракту). Поэтому при данном уровне усилий x нейтральный к риску наниматель максимизирует ожидаемую прибыль
Ex(˜y(x) − w(x)) = y(x) − w(x),
где w(x) — оплата уровня усилий x работника.
Пусть задано распределение вероятностей для типов работников. Например, в дискретном случае, описанном выше, оно определяется указанием вероятности µθ для работника каждого типа θ. Если работник типа θ осуществляет усилия xθ , то с точки зрения нанимателя усилия — это случайная величина. (В дискретном случае — это дискретная случайная величина, принимающая значение xθ с вероятностью µθ .) Таким образом, выигрыш нанимателя равен следующей величине:
Eθ[Exθ (˜y(xθ) − w(xθ))]
или, учитывая предположение независимости функции распределения дохода от типа работника,
Eθ[y(xθ) − w(xθ)].
Предполагаем, что функция полезности работника любого типа сепарабельна по деньгам и усилиям:
uθ(x, w) = vθ(w) − cθ(x),
где, как и выше, vθ(w) — полезность оплаты w, а cθ(x) — тягость усилий x для работника типа θ. Мы будем предполагать, что vθ(w) — возрастающая вогнутая функция, а cθ(x) — возрастающая выпуклая функция.
Разные типы работников характеризуются разной формой функций vθ(w) и cθ(x). Каждый тип работников характеризуется уровнем резервной полезности u0θ , заданной экзогенно.
Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с неполной информацией. Последовательность ходов в этой игре следующая:
0.«Природа» выбирает тип работника.
1.Наниматель, не зная типа, предлагает контракт w(·).
2.Работник (зная свой тип) решает, подписывать контракт или нет.
3.Если работник подписывает контракт, то он (зная свой тип) выбирает уровень усилий x.
4.«Природа» при данном x по распределению Fx случайным образом «генерирует» y˜(x).
Будем анализировать эту игру, используя обратную индукцию.
Уровень усилий xθ , выбираемый работником типа θ, является решением задачи
vθ(w(x)) − cθ(x) → max .
x X
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
597 |
В этих обозначениях задача нанимателя по выбору оптимального контракта имеет следующий вид:
E Π = E[I(w(x) − cθ(x) > 0)(xθ − w(xθ))] → max
w(·)
w(xθ) − cθ(xθ) > w(x) − cθ(x), x X, θ Θ,
В случае, если существует конечное число типов работников, можно решать эту задачу перебором. При этом выделяется подмножество типов работников, для которых выполнено ограничение участия. Для каждого такого подмножества решается эта задача, дополненная соответствующими ограничениями участия/неучастия и находится значение ожидаемой прибыли в максимуме. Затем находится то подмножество, для которого такая ожидаемая прибыль максимальна.
Если для рассматриваемых работников выполнено условие возрастания издержек по θ, —
cθ(x) > cϕ(x)( x X) θ > ϕ, —
то перебор можно сократить, поскольку условия найма, выгодные для работников типа θ, окажутся таковыми и для работника типа ϕ при ϕ < θ, т. е.
w(x) − cθ(x) > 0 w(x) − cϕ(x) > 0.
Кроме того, из того, что работнику типа θ безразлично, подписывать контракт или нет, следует, что выполняется ограничение неучастия для работника типа ϕ при ϕ > θ, т. е.
w(x) − cθ(x) = 0 и ϕ > θ w(x) − cϕ(x) 6 0.
Из этих рассуждений следует, что можно рассматривать задачи, в которых подписывают контракт только работники с θ меньше некоторого порогового значения, причем ограничения неучастия для остальных типов работников можно не учитывать. Это позволяет без потери общности ограничится анализом случая, когда наниматель предлагает контракт, который выгодно подписать работнику любого типа, т. е. когда подмножество типов работников, для которых выполнено ограничение участия, совпадает со всем множеством Θ.
Проанализируем такой случай. Ему соответствует следующая задача:
E Π = E(xθ − w(xθ)) → max
w(·)
w(xθ) − cθ(xθ) > w(x) − cθ(x), x X, θ Θ, w(xθ) − cθ(xθ) > 0, θ Θ.
Как и в модели с наблюдаемыми действиями, мы предполагаем, что работник выбирает те действия, которые выгодны нанимателю, поэтому можно считать, что наниматель сам выбирает усилия xθ :
E Π = E(x |
− |
w(x )) |
max |
|
θ |
θ |
→ w(·),xθ |
(f) |
|
w(xθ) − cθ(xθ) > w(x) − cθ(x), x X, θ Θ, |
||||
w(xθ) − cθ(xθ) > 0, θ Θ.
Эта задача имеет бесконечно много решений. Для того чтобы охарактеризовать все ее решения, мы воспользуемся вспомогательной задачей, в которой рассматриваются только точки {xθ}Θ и значения функции w(·) в этих точках. При этом в ограничении совместимости стимулов множество всех возможных действий X заменяется на множество {xθ}Θ . Упростим
15.3. Модель найма со скрытой информацией |
598 |
обозначения: пусть xθ — усилия, которые, как планирует наниматель, должен осуществлять работник типа θ, а wθ — соответствующая зарплата. Пары (xθ, wθ) будем называть, как и выше, пакетами. Получаем следующую вспомогательную задачу поиска оптимальных пакетов:
E Π = E(xθ − wθ) → max
wθ,xθ
wθ − cθ(xθ) > wϕ − cθ(xϕ), θ, ϕ Θ,
wθ − cθ(xθ) > 0, θ Θ.
Выше мы проанализировали данную задачу.
Если издержки от усилий cθ(·) ведут себя неким регулярным образом в зависимости от θ, то, рассматривая эту упрощенную задачу, мы не теряем существенную информацию относительно оптимальных контрактов. На основе любого ее решение можно построить функцию w(·) так, что wθ = w(xθ), θ Θ, причем w(·), {xθ}Θ составляют оптимальный контракт (обеспечивают максимум в задаче (f)). И наоборот, если w(·), {xθ}Θ — оптимальный контракт (решение задачи (f)), то соответствующие пары (w(xθ), xθ) являются решениями вспомогательной задачи.
Покажем, что любой набор оптимальных пакетов {w¯θ, x¯θ} можно реализовать как контракт (обуславливающий выбор работниками всех типов уровней усилий, соответствующих заданиям «их» пакета). Существует простой способ сделать это — реализовать данный набор пакетов как пакетный контракт, т. е. контракт следующего вида:
w(x) = |
w, |
x |
< x¯n, |
|
1), θ > 1, |
|
w¯θ, x |
|
[¯xθ, x¯θ |
− |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w¯ , x ≥ x¯ ,
1 1
где w — достаточно малое число. (Можно также платить w¯θ при x = x¯θ и некоторую достаточно малую величину w при любых других уровнях усилий, либо в условиях контракта в принципе запретить усилия, отличные от x¯1, . . . , x¯n .)
Заметим, что работнику типа θ при таком контракте выгодно выбрать усилия x¯θ , гарантирующие оплату w¯θ : любому x (¯xϕ, x¯ϕ−1) он предпочитает x = x¯ϕ , а x¯θ для него не хуже x¯ϕ .
w¯1 |
|
|
|
c3(x) |
|
w¯2 |
|
|
w¯3 |
|
|
w |
|
x |
x¯3 |
x¯2 |
x¯1 |
Рис. 15.21. Оптимальный пакетный контракт для 3 типов работников
Покажем, что этот контракт оптимален. Пусть это не так, то есть существует другой допустимый контракт w˜(·), который обеспечивает нанимателю более высокую прибыль. Пусть при этом контракте работник типа θ выбирает усилия x˜θ . Тогда пакеты {w˜θ, x˜θ}, где w˜θ = w˜(˜xθ),