11.9. Задачи к главе			434
	Имя	Полезность дорогой	Полезность дешевой
		антенны, руб.	антенны, руб.
	A	500	150
	B	900	450
	C	2000	550

антенну, купить дешевую, купить дорогую? Укажите численные значения результирующих налогов Кларка. Какой вариант будет выбран при голосовании по правилу простого большинства? Какой выбор является Парето-оптимальным?

11.9Задачи к главе

/ 520. Экономика состоит из трех соседей, потребляющих коллективное благо y — внешний вид их общего двора. Каждый может затрачивать труд hi по уходу за двором, причем y = h1+ h2 + h3 . Каждый имеет неограниченный запас труда. Функции полезности имеют следующий вид:

ui = −h2i + iy.

(а) Найдите нерегулируемое равновесие в данной экономике.

(б) Найдите равновесие с равно-долевым финансированием и голосованием по правилу простого большинства.

(в)Найдите равновесие Линдаля.

/521. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех потребителей имеют вид ui = −(i + 1 − x)2 + zi , а функция издержек имеет вид c(y) = 12y.

1) Найдите Парето-границу.

2) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.

3) Найдите равновесие при финансировании равными долями и голосовании простым большинством.

4) Найдите доли финансирования, при которых налоги Кларка в процедуре Гровса — Кларка равны нулю.

/522. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех потребителей имеют вид ui = −(i + 4 − x)2 + zi , а функция издержек имеет вид c(y) = 12y.

1) Найдите Парето-границу.

2) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.

3) Найдите условия на доли финансирования, которые гарантируют Парето-оптимальный исход голосования простым большинством.

/523. Пусть три соседа по даче хотели ли бы подвести к имеющейся общей емкости водопровод с мощностью подачи X тонн/сутки, стоимостью 4 рубля за тонну/сутки, выбирая размер мощности. Функции полезности имеют вид

ui(X, zi) = (i + 2) ln X + zi.

(1)Охарактеризуйте Парето-оптимум.

(2)Для каждого соседа определите, какую из трех возможных процедур общественного выбора он бы предпочел:

- равновесие с добровольным финансированием; - равновесие Линдаля;

- долевое финансирование с равными долями и голосованием простым большинством;

11.9. Задачи к главе

435

- механизм Гровса — Кларка с долями 1/4, 2/3, 5/12. Аргументируйте ответ.

/524. Рассмотрим долевое финансирование с голосованием по правилу простого большинства (при стандартных гипотезах) в экономике с квазилинейными функциями полезности с одним общественным и одним частным благом. Отметьте верные из нижеприведенных утверждений. Этот механизм обязательно приводит

1)к Парето-оптимальному состоянию экономики;

2)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех участников строго положительны;

3)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если предпочитаемый медианным потребителем уровень общественного блага совпал с Парето-оптимальным;

4)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если все участники удовлетворены выбранным уровнем общественного блага (не желают его изменения при данных ценах и долях);

5)к такому же состоянию равновесия, как и механизм добровольного финансирования.

6)Все вышеприведенные утверждения, вообще говоря, неверны.

/525. Рассмотрим долевое финансирование с голосованием по правилу усреднения заявок (при стандартных гипотезах). Отметьте верные из нижеприведенных утверждений. Этот механизм обязательно приводит

1)к Парето-оптимальному состоянию экономики;

2)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если все участники проголосовали за одинаковый положительный уровень общественного блага;

3)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если доли финансирования пропорциональны предельным нормам замещения общественного блага на частное;

4)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если участники предложили уровни общественного блага, пропорциональные предельным нормам замещения общественного блага на частное;

5)к такому же состоянию равновесия, как и механизм Линдаля.

6)Все вышеприведенные утверждения, вообще говоря, неверны.

/526. [Laffont] Рассмотрим квазилинейную экономику с m потребителями и тремя благами: два частных и одно общественное (благо 1). Потребитель i описывается функцией полезности ui = ln x1 + 2 ln xi2 + zi , где xi2 — его потребление 2-го (частного) блага, а x1 — потребление общественного блага. У потребителей имеются только запасы квазилинейного блага. Благо 2 производится из квазилинейного блага в соответствии с функцией издержек c2(y2) = y22 . Благо 1 (общественное) производится в соответствии с функцией издержек c1(y1) = y1 (y1 > 0).

(1) Найдите границу Парето. Вычислите соответствующий уровень благосостояния.

(2) Для финансирования общественного блага решено облагать налогом t потребление блага 2. Вычислите величину налога, которая позволит профинансировать объем общественного блага, найденный в пункте 1.

(3) Объясните, почему этот налог приводит к неоптимальному по Парето состоянию. Вычислите чистые потери благосостояния.

Получите тот же результат, используя концепцию излишка. Дайте графическое представление чистых потерь на графике спроса и предложения на рынке блага 2.

(4) Пусть мы находимся в ситуации финансирования общественного блага через налогообложение потребления 2-го блага. Найдите оптимальный налог и оптимальное производство общественного блага (оптимум второго ранга). Объясните, почему в оптимуме второго ранга производство общественного блага отличается от полученного в первом пункте. Вычислите потери благосостояния для этого случая. Найдите выигрыш благосостояния, полученный благодаря оптимизации второго ранга (по сравнению с уровнем пункта 4).

/527. [Laffont] (Выявление предпочтений в отношении общественных благ)

11.9. Задачи к главе

436

Рассмотрим квазилинейную экономику с m потребителями, двумя частными благами и одним общественным благом. Функция полезности i-го потребителя имеет вид ui = θi(x1 + √xi2) + z , где x1 — потребление 1-го (общественного) блага, xi2 — потребление i-м потребителем 2-го (частного) блага, θi — параметр вкуса, известный только потребителю i. У потребителей имеются только начальные запасы квазилинейного блага. Блага 1 и 2 производятся в соответствии с функциями издержек c1(y1) = mz2/2 и c2(y2) = y2 (y2 > 0). Бремя финансирования общественного блага делится поровну на всех потребителей, а благо 2 производится конкурентно. При решении задачи абстрагируйтесь от проблемы банкротства.

(1) Определите оптимальный по Парето уровень потребления общественного блага.

(2) Предположим, что каждый участник заявляет свой параметр вкуса ˜i (некоторое дей-

θ

ствительное число, возможно не совпадающее с θi ), зная, что уровень производства общественного блага будет выбран в соответствии с правилом

1	X θ˜i.
y1 = m

Рассмотрите этот механизм как игру, вычислив для этого непрямые функции полезности потребителей Vi(θi, y1). Покажите, что эта игра в общем случае не будет иметь равновесия по Нэшу.

(3) Предложите механизм со стимулирующими платежами, аналогичный механизму Гров-

са — Кларка, который позволил бы планирующему органу получить истинные оценки ˜i i

θ = θ

как доминирующие стратегии участников.

(4)Предположим, что планирующий орган получает оценки θi из наблюдений за потреблением блага 2 и выбирает потребление общественного блага по приведенной выше формуле. Зная механизм принятия решений планирующим органом, участники приспосабливают к нему свое поведение и изменяют потребление блага 2. Вычислите потери благосостояния, возникающие как следствие такого стратегического поведения, и покажите, что они стремятся к нулю при неограниченном росте m.

(5)Вычислите налог на потребление блага 2, который нейтрализует поведение потребителей на рынке блага 2, возникающее в предположениях предыдущего пункта. Сравните с результатом пункта 3.

(6)В рамках предположений пунктов 3 и 4 найдите равновесие, в котором доли финансирования общественного блага зависят от предпочтений потребителей по следующему правилу:

˜ X ˜

δi = θi/ θj.

Покажите, что асимптотические результаты (при m стремящемся к бесконечности) изменятся.

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s				Глава
Рынки с асимметричной				12
информацией

В этой главе мы продолжим обсуждать последствия невозможности заключить некоторые виды сделок. Рассмотренные ниже модели демонстрируют, как различная информированность продавцов и покупателей может приводить к неоптимальному объему торговли.

Рынки, где одна из сторон лучше информирована о свойствах продаваемого товара, чем другая, получили название рынков с асимметричной информацией. Можно привести достаточно много примеров таких рынков. Так на рынке страхования страхователь лучше знает, каковы шансы страхового случая, чем страховщик. На кредитном рынке заемщик лучше знает свое финансовое положение, чем кредитор.

При анализе моделей с асимметричной информацией следует соответствующим образом модифицировать определение Парето-оптимальности. При этом в основе должно лежать «объективная» концепция Парето-оптимальности, которая была введена в гл. 8 (см. Определение 62 на с. 289). Объективные вероятности, фигурирующие в определении должны вычисляться исходя из полной информации, которая имеется в экономике в целом, у всех экономических субъектов в совокупности. Например, если хотя бы один экономический субъект точно знает, что осуществилось некоторое конкретное состояние мира, то при расчете ожидаемой полезности вероятность этого состояния мира следует принять равной единице, а остальных — нулю. Такое определение исходит из того, что информация имеет черты коллективного блага (см. в гл. 11 Определение 73 на с. 389): коль скоро информация доступна одному экономическому субъекту, то (за исключением некоторых издержек, связанных с передачей информации) она, как правило, может быть в полном объеме передана другому экономическому субъекту.

12.1Асимметричная информация в случае двусторонней монополии. Теорема Майерсона — Саттертуэйта

Проблему достижения соглашения в условиях двусторонней монополии одним из первых рассмотрел Фрэнсис Эджворт1. Анализ этой ситуации привел Эджворта к выводу, что процесс торга между сторонами должен в конце концов завершиться на контрактной кривой, то есть на подмножестве границы Парето, которое задается тем ограничением, что благосостояние сторон не должно ухудшиться по сравнению с исходным состоянием (статус-кво)2.

C другой стороны, есть серьезные сомнения в справедливости вывода Эджворта. Так, например, Пол Самуэльсон3 считал, что «. . . для многих типов монополий конечное равновесие может быть достигнуто за пределами контрактной кривой». Основной аргумент Самуэльсона состоял в том, что при двусторонней монополии нельзя однозначно предсказать, каким образом выгоды торговли будут разделены между участвующими сторонами. В стремлении

1F. Y. Edgeworth: Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences, London: C. Kegan Paul & Co., 1881.

2Распространение этого анализа на случай более чем двух участников позволило сформулировать утверждение о том, что процесс торга должен завершиться в ядре рассматриваемой экономики, то есть в подмножестве эффективных состояний, для которых благосостояние любой группы участников должно быть не ниже того уровня, которых они способны достигнуть «самостоятельно».

3P. A. Samuelson: Foundations of Economic Analysis, Harvard University Press, 1947, p. 238.

437

12.1. Асимметричная информация в случае двусторонней монополии

438

«тянуть одеяло на себя», участники могут не достичь взаимовыгодного соглашения (т. е. такого, которое ведет к Парето-улучшению), в результате чего торг завершится вне контрактной кривой.

Аргумент Самуэльсона косвенным образом представляет собой критику так называемой «теоремы Коуза», поскольку экстерналии зачастую являются двусторонними и, следовательно, стороны, связанные экстерналиями, оказываются в ситуации двусторонней монополии. Поэтому, возражая критикам «теоремы Коуза», Рональд Коуз изложил свой взгляд и на критику Самуэльсоном Эджворта4. По мнению Коуза неоптимальный исход противоречит гипотезе о рациональности участников торга (является скорее исключением), просто потому, что он наносит ущерб участникам торга. Неопределенность того, как будут поделены выгоды, не связана с проблемой достижения соглашения, и сама по себе не может автоматически приводить к неоптимальности.

С доводами Р. Коуза трудно не согласиться, оставаясь в рамках стандартных предположений экономического анализа (рациональное поведение и симметричная информированность участников торга). Положение меняется при отказе от предположения о симметричной информированности.

В этом параграфе проводится анализ, который позволяет увидеть проблемы достижения оптимальных состояний в случае двухсторонней монополии в условиях асимметричной информированности сторон и дать строгое обоснование тезису Пола Самуэльсона, а также оценить (и уточнить) аргументы в дискуссии вокруг «теоремы Коуза».

Ключевым аспектом анализа ситуации двусторонней монополии оказывается неодинаковая информированность сторон. Во-первых, несложно придумать пример разумного механизма торга, который при асимметричной информированности приводит к неоптимальному результату. Во-вторых, как показывает теорема Майерсона — Саттертуэйта, существуют ситуации двусторонней монополии с асимметричной информированностью, в которых ни один механизм торга не может привести к оптимальному результату.

12.1.1Формулировка теоремы Майерсона—Саттертуэйта

??

Рассмотрим торговлю единицей неделимого блага. Продавец блага характеризуется издержками c (возможно, это альтернативные издержки), а покупатель — оценкой v (готовность платить). Продавец и покупатель могут либо вступить в сделку, либо остаться в исходном состоянии (то есть благо остается у продавца).

Предположим, что то, кому достается благо и сколько за него платится, определяется в результате некоторой игры. Такую игру принято называть торгом. В данном случае это двусторонний торг. Мы не будем конкретизировать структуру этой игры (процедуру торга), сделаем только предположения самого общего характера.

Будем предполагать, что это байесовская игра, в которой c — это тип продавца, а v — тип покупателя. Как обычно в байесовской игре, предполагается, что тип игрока известен только самому игроку (является приватной информацией), но не партнеру. Набор стратегий продавца и покупателя определяют для каждой пары параметров c и v происходит ли торговля, и по какой цене. Пусть x(c, v) = 1, если торговля происходит и x(c, v) = 0 в противном случае, и пусть t(c, v) — плата покупателя продавцу5. Следует учитывать, что это не цена, а общая

4См. R. H. Coase: Notes on the Problem of Social Cost, in The Firm, the Market and the Law, University of Chicago Press, 1988: 157–186 (рус. пер. Р. Коуз: Заметки к ‘Проблеме социальных издержек’, в кн. Фирма, рынок и право, М.: Дело, 1993).

5Можно рассмотреть и смешанные стратегии (торговля происходит с некоторой вероятностью), но при этом ситуация поменяется незначительно. Плату t(c, v) тогда следует интерпретировать как ожидаемую, рассчитанную по плате в случае, если торговля происходит, и плате в случае, если она не происходит. Такой прием можно использовать, поскольку предполагается нейтральность к риску.

12.1. Асимметричная информация в случае двусторонней монополии

439

сумма. Плата, вообще говоря, может быть отрицательной, кроме того, механизм торга может подразумевать осуществление ненулевой платы даже в том случае, если товар не продается.

Как покупатель, так и продавец имеют квазилинейные функции выигрыша и нейтральны к риску. Выигрыш покупателя равен

uv(c, v) = vx(c, v) − t(c, v),

а выигрыш продавца (прибыль) —

uc(c, v) = t(c, v) − cx(c, v).

Будем предполагать, что каждый из игроков любого типа может обеспечить себе в игре неотрицательный ожидаемый выигрыш. Например, это условие будет выполнено, если у каждого игрока есть до начала собственно торга ход, состоящий в выборе — участвовать или не участвовать в торговле. При этом каждая из сторон может обеспечить себе по крайней мере нулевой резервный выигрыш, поэтому в равновесии игрок не участвует в торге, если его ожидаемый выигрыш от торга отрицательный.

Обозначим через Uv(v) ожидаемый выигрыш от сделки покупателя с оценкой v при условии, что эта оценка известна:

Uv(v) = E[vx(˜c, v) − t(˜c, v)] = v E x(˜c, v) − E t(˜c, v),

Условие добровольности участия (или просто условие участия) для покупателя с оценкой v означает, что Uv(v) > 0. Аналогично, для продавца с издержками c ожидаемый выигрыш от сделки

Uc(c) = E[t(c, v˜) − cx(c, v˜)] = E t(c, v˜) − c E x(c, v˜).

Условие добровольности участия для продавца с издержками c означает, что Uc(c) > 0.

До начала торга (но после того, как игроки узнали, какого они типа) совокупная информация в рассматриваемой экономике эквивалентна полной информации. Действительно, продавец знает свой тип, а покупатель — свой, поэтому если «сложить» информацию, доступную обеим сторонам, то окажутся известными оба типа, c и v. Следовательно, с точки зрения всей имеющейся в экономике информации Парето-оптимальный набор стратегий данной игры таков, что соответствующая ему функция x(c, v) при любых c и v принимает значения, являющиеся решениями следующих задач:

(v − c)x → max .

x

Если v > c, то максимум здесь достигается при xˆ = 1, а если v < c, то при xˆ = 0 (в случае v = c решение неоднозначно). Т. е. если выгода от торговли, v − c, положительна, то она осуществляется, а если отрицательна, то нет. Таким образом, торговля в этих условиях исчерпывает все возможные Парето-улучшения.

Существует общий результат6 (теорема Майерсона — Саттертуэйта) о принципиальной невозможности достижения Парето-оптимума при любой процедуре торга, или, другими словами, в (байесовском) равновесии любой такой игры, если случайные величины c = c˜ и v = v˜ имеют непрерывное распределение, независимы, и нельзя заранее сказать, имеет ли место выгода от торговли (существует положительная вероятность того, что v˜ > c˜ и того, что v˜ < c˜).

Более точно, предположим, что издержки продавца, c˜, являются случайной величиной, имеющей распределение, характеризующееся функцией распределения G(·) с носителем [c1, c2] и функцией плотности g(·), а оценка покупателя, v˜, является случайной величиной, с функцией распределения F (·), носителем [v1, v2] и функцией плотности f(·). Носители распределений

6R. B. Myerson and M. A. Satterthwaite: Efficient Mechanisms for Bilateral Trading, Journal of Economic Theory 29 (1983): 265–281.