11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
395 |
11.2.1Задачи
/ 490. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:
u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).
Производная v0(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 2y.
При a = a0 , b = b0 в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x0 . При a = ka0 , b = kb0 (k > 0) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x00 , где x00 > x0 . Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.
Можно ли утверждать, что k > 1 или k < 1? Обоснуйте свое утверждение.
/ 491. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида uj = vj(x) + zj . Производные vj0 (x) положительны и убывают. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = αy.
При α = α0 в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x0 . При α = α00 (α00 > α0 ) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x00 . Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.
Можно ли утверждать, что x00 > x0 или x00 < x0 ? Обоснуйте свое утверждение.
11.3Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)
Заметим предварительно, что рассматриваемому случаю однородных экстерналий соответствует рыночное равновесие, в котором, как правило, общественное благо не производится, так как в нем нет механизма возмещения производителям общественных благ их затрат на такое производство9. Альтернативная возможность — механизм финансирования общественного блага на основе добровольных вкладов (пожертвований) потребителей этого блага. Примерами служат добровольные взносы в благотворительные фонды, финансирующие какие-либо общественные блага, например, научные исследования.
Рассмотрим одну из возможных формализаций такого механизма. Обозначим добровольный взнос i-го участника на приобретение k-го общественного блага через tik>0. Будем предполагать также, что существуют рынки общественных благ. Поскольку благосостояние потребителя зависит от общего количества этих благ, то при определении своего взноса tik потребитель i формирует ожидания (teisk , s 6= i) относительно взносов других участников.
Собранная сумма идет на приобретение общественного блага:
X
pkxk = pkyk = tik, k K1.
i I
9Есть исключения, например ситуации, когда производство общественного блага по технологическим причинам является побочным результатом производства частных (рыночных) благ.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
396 |
Таким образом, задача потребителя i имеет вид:
ui(xi) → max
xi,ti
XX
pkxik + |
tik6βi, |
(11.1) |
k K1 |
k K2 |
|
X6 |
|
|
pkxk = tik + |
tiske , k K1 |
, |
s=i
xi Xi,
tik>0, k K1.
Определение 75:
Равновесие без координации или, иначе, равновесие с добровольным финансированием обще-
ственных благ |
10 |
есть набор (p¯ |
¯ |
|
, t, x¯, y¯), такой что |
#(x¯, y¯) — допустимое состояние экономики с общественными благами;
¯¯
#каждый набор xi и взносы ti являются решением соответствующей задачи потребителя
(11.3) при ценах p¯ , доходах
|
|
βi = p¯ |
|
jX |
+ Si |
|
|
|
ωi + γijp¯y¯j |
|
|||
|
|
|
|
J |
|
|
e |
}s6=i, k K2 |
, таких что |
e |
¯ |
|
; |
и ожиданиях {tisk |
tisk |
= tsk s 6= i, k K1 |
||||
#каждая технология y¯j является решением соответствующей задачи производителя ?? (11.3) при ценах p¯ ;
#сумма взносов равна совокупным расходам на каждое общественное благо:
XX
p¯kx¯k = |
p¯ky¯jk = tik, k K1. |
j J |
i I |
Охарактеризуем решение задачи потребителя в состоянии равновесия в предположении, что xi int Xi . Функция Лагранжа этой задачи:;
X1 |
X6 |
X1 |
X2 |
Li = ui(xi) + |
νik(tik + tiske − pkxk) + λi(βi − |
tik − |
pkxik). |
k K |
s=i |
k K |
k K |
Условия первого порядка:
∂Li ∂ui
∂xk = ∂xk − νikpk = 0, k K1,
∂Li ∂ui
∂xik = ∂xik − λipk = 0, k K2,
∂Li
∂tik = νik − λi 6 0, причем νik − λi = 0, если tik > 0,
где λi — множитель Лагранжа бюджетного ограничения, а νik — множитель Лагранжа бюджета для k-го общественного блага.
10По-видимому, впервые эту концепцию равновесия ввел Эдмон Маленво. См. его учебник E. Malinvaud:
Le¸cons de th´eorie micro´economique, Paris: Dunod, 1969 (рус. пер. Э. Маленво: Лекции по микроэкономическому анализу, М.: Наука, 1985). Маленво называл такое равновесие равновесием с подпиской (фр. souscription). В русском языке есть более удачное слово складчина.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
397 |
Предположим, что для любого потребителя i существует частное благо k, такое что ∂ui/∂xik > 0. Тогда λi > 0 i, что, в свою очередь, означает, что равновесная цена любого такого блага положительна.
Пусть k0 — некоторое частное благо, такое что его цена положительна. Тогда ∂ui/∂xik0 > 0 i. Если потребитель i делает положительный взнос на общественное благо k (tik > 0), то из дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что
∂ui/∂xk = pk . ∂ui/∂xik0 pk0
Для потребителя, делающего нулевой взнос, такое равенство нормы предельной замены отношению цен может не выполняться. Можно проверить, что если равновесная цена общественного блага k положительна, то, вообще говоря,
∂ui/∂xk 6 pk . ∂ui/∂xik0 pk0
Из решения задачи j -го производителя
∂gj/∂yjk = pk , j, k K1. ∂gj/∂yjk0 pk0
Предположим, что в равновесии суммарный взнос на общественное благо k положительный, и пусть i1 — потребитель, который делает положительный взнос на приобретение этого общественного блага. Тогда в равновесии должно выполняться соотношение
∂ui1 /∂xk = pk = ∂gj/∂yjk , ∂ui1 /∂xi1k0 pk0 ∂gj/∂yjk0
В Парето-оптимуме же должно выполняться условие Самуэльсона:
Xi I |
∂ui/∂xk |
= |
∂gj/∂yjk |
|
|
|
. |
||
∂ui/∂xik0 |
∂gj/∂yjk0 |
|||
Отсюда следует, что равновесие и Парето-оптимум могут совпадать только если
X ∂ui/∂xk = 0.
i6=i1 ∂ui/∂xik0
В случае, когда ∂ui/∂xk > 0 i, это соотношение имеет место только тогда, когда ∂ui/∂xk = 0 i 6= i1 .
Следующая теорема неэффективности резюмирует эти рассуждения. По смыслу она противоположна обеим теоремам благосостояния.
Теорема 119: |
¯ |
|
|
|
Пусть (p¯ |
xi |
|
||
, t, x¯, y¯) — равновесие с добровольным финансированием, такое что |
int Xi i I , функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того,
3 для любого потребителя i существует частное благо k0 , такое что???
∂ui(x¯i)/∂xik0 > 0 и ∂gj(y¯j)/∂yjk0 < 0 j;
3 все предельные полезности по общественному благу k неотрицательные,
∂ui(x¯i)>0, i;
∂xk
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
398 |
|
|
¯ |
> 0, причем по хотя бы для одного |
3 |
в равновесии существует потребитель i1 с ti1k |
|
6 |
|
|
потребителя i2 = i1 неравенство строгое. |
|
|
Тогда состояние (x¯, y¯) не оптимально по Парето.
Доказательство: Приведенные выше рассуждения, фактически, доказывают эту теорему. Уместно привести альтернативное доказательство, показав, что можно построить Парето-
улучшение, увеличив объем производства общественного блага и соответствующим образом перераспределив ресурсы. Существование такого Парето-улучшения можно неформально интерпретировать как локальную недостаточность количества общественного блага в равновесии.
Рассмотрим следующий дифференциально малый сдвиг из точки равновесия:
dxk = dyjk > 0 и dyjk0 < 0, dyjk0 = dxi1k0 + dxi2k0
причем dxi1k0 < 0, dxi2k0 < 0,
где j — произвольное предприятие.
Другими словами, предлагаемое изменение заключается в увеличении производства и потребления общественного блага k на величину dyjk , компенсированное уменьшением производства частного блага k0 на величину dyjk0 и, соответственно, его потребления потребителями i1 и i2 на величину dxi2k0 и dxi1k0 соответственно.
Для того, чтобы новое состояние экономики было допустимым, величины dyjk
должны удовлетворять соотношению |
|
|
||
|
∂gj |
dyjk0 + |
∂gj |
dyjk = 0. |
|
|
|
||
|
∂yjk0 |
∂yjk |
||
Указанные изменения объемов потребления благ k и k0 приводят к изменениям в уровне полезности потребителя i1 на величину
dui1 = |
∂ui1 |
dxk + |
∂ui1 |
dxi1k0 = |
|
∂ui1 |
dyjk + |
∂ui1 |
dxi1k0 = |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂xk |
|
∂xi1k0 |
|
∂xk |
∂xi1k0 |
||||||
|
= |
∂ui1 |
( |
∂ui1 /∂xk |
dyjk + dxi1k0 ) |
|||||||
|
|
∂ui1 /∂xi1k0 |
||||||||||
|
|
|
∂xi1k0 |
|
|
|
|
|
||||
Учитывая дифференциальную характеристику равновесия (равенство предельных норм замещения блага k на благо k0 в производстве и потреблении для потребителя i1 ), эту величину можно выразить как
dui1 = |
|
∂ui1 |
( |
∂gj/∂yjk |
dyjk + dxi1k0 ) = |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
∂xi1k0 |
∂gj/∂yjk0 |
|
|
|
|||
|
∂u |
|
|
|
|
∂u |
|||
= |
i1 |
(−dyjk0 + dxi1k0 ) = − |
|
i1 |
dxi2k0 . |
||||
∂x |
∂x |
|
|||||||
|
i1k0 |
|
|
|
|
|
i1k0 |
||
Поскольку ∂ui1 /∂xi1k0 > 0, то при dxi2k0 < 0 прирост полезности dui1 положителен. Аналогичные преобразования можно провести и для изменения полезности потребителя
i2 :
dui2 = |
|
∂ui2 |
dxk + |
∂ui2 |
dxi2k0 = |
∂ui2 |
dyjk + |
∂ui2 |
dxi2k0 = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂xk |
|
∂xi2k0 |
∂xk |
∂xi2k0 |
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
∂ui2 |
( |
∂ui2 /∂xk |
dyjk + dxi2k0 ) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ui2 /∂xi2k0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂xi2k0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂ui2 |
|
∂ui2 /∂xk ∂gj/∂yjk0 |
|
|
||||||||||||
|
= |
|
(− |
|
|
|
dyjk0 + dxi2k0 ) = |
||||||||||||
|
∂xi2k0 |
∂ui2 /∂xi2k0 |
∂gj/∂yjk |
||||||||||||||||
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
399 |
Представим изменения потребления блага k0 в виде
dxi2k0 = αdyjk0 ,
где α (0, 1) — доля потребителя i2 в уменьшении потребления блага k0 . Тогда
dui2 = |
∂ui2 |
|
|
|
∂ui2 /∂xk ∂gj/∂yjk0 |
|
||||||
|
|
(αdyjk0 − |
|
|
|
|
|
|
dyjk0 ) = |
|||
∂xi2k0 |
∂ui2 /∂xi2k0 |
∂gj/∂yjk |
||||||||||
|
∂ui2 |
|
|
∂ui2 /∂xk ∂gj/∂yjk0 |
|
|||||||
= |
|
|
(α − |
|
|
|
)dyjk0 |
= |
||||
∂xi2k0 |
|
∂ui2 /∂xi2k0 |
∂gj/∂yjk |
|||||||||
Поскольку dyjk0 < 0, то dui2 > 0 тогда и только тогда, когда
α < ∂ui2 /∂xk ∂gj/∂yjk0 . ∂ui2 /∂xi2k0 ∂gj/∂yjk
Мы можем всегда подобрать долю α (0, 1), удовлетворяющую этому неравенству11. Таким образом, существует строгое Парето-улучшение в дифференциалах.
Заметим, что при отказе от любого из условий теоремы ее утверждение, вообще говоря, перестает быть справедливым. Так, равновесие при добровольной подписке может быть Па- рето-оптимальным в перечисленных ниже ситуациях.
1)Потребитель всего один m = 1. (В этой ситуации, однако, едва ли уместно говорить об общественном благе.)
2)Общественное благо в рассматриваемой экономике единственно и его «ценит» только один потребитель (сверх уровня, финансируемого этим потребителем), т. е. предельная полезность общественного блага при данной величине его потребления положительна только для одного потребителя (и равна нулю для остальных).
3)Предельные полезности всех общественных «благ» у одних участников положительны,
удругих отрицательны, и происходит точное уравновешивание.
4) Частные и общественные блага комплементарны в потреблении. Заметим, что при этом не выполнено условие дифференцируемости функций полезности.
5) Равновесие не является внутренним. Здесь полезно различать два возможных случая. Случай (а): множество допустимых потребительных наборов обуславливают ограничение вида xk > 0 по общественному благу k , и в равновесии производство этого блага равно нулю. Такое равновесие может быть Парето-оптимальным, если производство его оказывается
«слишком дорогим», экономически неоправданным.
Случай (б): в равновесии потребление всех благ, за исключением одного (общественного) блага равно нулю.
6) Равновесие может быть Парето-оптимальным и в случае, когда общественное благо является неделимым.
Пример 53 ((комплементарность частного и общественного блага)):
В экономике имеется два потребителя с функциями полезности
ui(x1, xi2) = min(x1, xi2),
где x1 > 0 — потребление общественного блага, xi2 > 0 — потребление частного блага i-м потребителем, и один производитель с неявной производственной функцией
g(y1, y2) = y1 + y2,
11Заметим, что если |
∂ui2 /∂xk |
= |
∂gj /∂yjk |
, то α можно выбрать произвольно, другими словами, Парето- |
|||||
|
|
||||||||
|
∂u |
i2 |
/∂x |
i2k0 |
|
∂g |
/∂y |
jk0 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|||
улучшение гарантируется при любых пропорциях уменьшения потребления первого блага. С другой стороны, если ∂ui2 /∂xk = 0, то мы не можем подобрать α и построить Парето-улучшение рассматриваемого типа.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
400 |
где y1 — производство общественного блага, y2 — чистое производство частного блага (−y2 — затраты частного блага). Другими словами, имеющаяся технология позволяет произвести единицу общественного блага из единицы частного.
Потребители имеют только запасы частного блага в размере ωi > 0. Баланс по общественному благу имеет вид x1 = y1 , а по частному благу —
x12 + x22 = y2 + ω1 + ω2.
Покажем, что любое равновесие в этой модели Парето-оптимально и любой Парето-оптимум можно реализовать как равновесие (при подходящем выборе трансфертов).
Опишем сначала Парето-оптимальные состояния данной экономики. Можно заметить следующие факты:
•В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть ниже потребления частного блага любым потребителем. Пусть, это не так, например, x1 < x12 . Тогда можно немного уменьшить x12 и произвести за счет этого больше общественного блага x1 . При этом полезность обоих потребителей возрастет.
•В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть выше потребления частного блага каждым из потребителем. Пусть это не так, т. е. x1 > x12 и x1 > x22 . Тогда можно уменьшить немного производство общественного блага, произвести за счет этого больше частного блага и увеличить x12 или x22 . При этом полезность соответствующего потребителя возрастет, а полезность другого потребителя не изменится.
•В любом Парето-оптимуме используются все ресурсы, т. е. выполнено
x1 + x12 + x22 = ω1 + ω2.
Отсюда следует, что Парето-оптимальные состояния в этой экономике могут быть трех типов:
(i) x12 < x1 = x22, (ii) x22 < x1 = x12, (iii) x1 = x12 = x22.
Можно показать, что если в допустимом состоянии экономики выполнено одно из этих трех условий и используются все ресурсы, то это Парето-оптимум.
Опишем теперь равновесия в этой модели. Заметим, что в любом равновесии цены общественного и частного блага совпадают. Можно выбрать их равными единице: p1 = p2 = 1. Учитывая это, в равновесии задача потребителя имеет вид
min(x1, xi2) → max
xi,ti
xi2 + ti6βi, x1 = ti + t−i, x1 > 0, xi2 > 0, ti>0.
Потребителю в равновесии выгодно полностью истратить свой доход βi . Поэтому мы можем подставить xi2 = βi − ti и x1 = ti + t−i в целевую функцию:
min(ti + t−i, βi − ti) → max 06ti6βi.
ti
Решение задачи потребителя будет зависеть от соотношения параметров t−i и βi .
(A)Если t−i > βi , то ti = 0, x1 = t−i и xi2 = βi .
(B)Если t−i6βi , то ti = (βi − t−i)/2, x1 = xi2 = (βi + t−i)/2.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
401 |
||||||||
|
|
|
ui |
(B) |
|
βi |
|
ui |
(A) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui=min(x1 |
,xi2) |
|
|
|
|
ui=min(x1,xi2) |
|
|
|
|
t−i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ti |
|
|
ti |
|
|
|
|
βi |
|
|
|
|
(βi−t−i)/2 |
βi |
Рис. 11.2. Комплементарность частного и общественного блага
Логически возможны 4 варианта равновесия: AA, AB, BA, BB. Вариант AA невозможен, так как при этом t1 = t2 = 0, а это, поскольку доходы потребителей неотрицательны, противоречит условиям t1 > β2 и t2 > β1 . Все остальные варианты возможны. Охарактеризуем соответствующие им состояния равновесия.
(AB) Несложно проверить, что в таком равновесии
t1 = 0, t2 = x1 = x22 = β2/2, x12 = β1.
Это равновесие возможно при условии, что β2 > 2β1 .
(BA) Этот вариант получается из предыдущего заменой индексов: t2 = 0, t1 = x1 = xi1 = β1/2, x22 = β2.
Такое равновесие возможно при условии, что β1 > 2β2 .
(BB) Такое равновесие должно удовлетворять уравнениям
t1 = (β1 − t2)/2, x1 = x12 = (β1 + t2)/2, t2 = (β2 − t1)/2, x1 = x22 = (β2 + t1)/2.
Откуда получаем
t1 = (2β1 − β2)/3, t2 = (2β2 − β1)/3, x1 = x12 = x22 = (β1 + β2)/3.
Это равновесие возможно при условиях t16β2 , t26β1 , т. е. β162β2 , β262β1 . Заметим, что в любом равновесии
β1 + β2 = p1ω1 + S1 + p2ω2 + S1 = ω1 + ω2.
Несложно проверить, что каждом из этих типов равновесий выполнено
x1 + x12 + x22 = β1 + β2.
Поскольку β1 + β2 = ω1 + ω2 , то в любом равновесии ресурсы используются полностью. В равновесиях типа (AB) выполнены условия (i), в равновесиях типа (BA) выполнены условия (ii), а в равновесиях типа (BB) выполнены условия (iii). Таким образом, любое равновесие Парето-оптимально.
Более того, в этой экономике любое Парето-оптимальное состояния можно реализовать как равновесие с добровольным финансированием. Так, например, Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (i), соответствует равновесие типа (AB), такое что
β1 = x12, β2 = 2x1 = 2x22, t1 = 0, t2 = x1 = x22.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
402 |
Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (iii), соответствуют равновесия типа (BB), такие что
β1 + β2 = 3x1 = 3x12 = 3x22, t1 = (2β1 − β2)/3, t2 = (2β2 − β1)/3. |
4 |
Мы привели пример экономики, соответствующей ситуации (4). Читателю предлагается привести примеры экономик, соответствующих ситуациям (2), (3), (5) и (6) самостоятельно.
Комментируя теорему, отметим, что при добровольном финансировании возможны ситуации, когда некоторые потребители не делают взносы на финансирование общественного блага. Таких потребителей называют «безбилетниками». В том случае, когда, например, предельные
нормы замещения ∂ui1 /∂xk общественного блага k частным благом k0 различны, только
∂ui1 /∂xi1k0
один потребитель финансирует производство общественного блага. Остальные оказываются безбилетниками. Ниже, для случая квазилинейной экономики мы покажем, что такая ситуация является типичной.
В случае квазилинейной экономики равновесие с добровольным финансированием обще-
ственного блага это набор ¯ такой что
(¯p, t, x,¯ y¯)
+ |
¯ |
является решением задачи потребителя |
|
При цене p¯ взнос ti |
|||
|
|
X6 |
max . |
|
|
¯ |
|
|
|
vi((ti + ts)/p¯) − ti → ti>0 |
|
|
|
s=i |
|
+Суммарная величина взносов совпадает с суммой, требуемой для финансирования общественного блага в объеме x¯ по цене p¯:
X
¯
ti = p¯x¯.
i I
+ При цене p¯ величина y¯ является решением задачи производителя
py − c(y) → max .
y>0
+Спрос на общественное благо равен предложению: x¯ = y¯.
Вравновесии выполняются соотношения:
vi0(¯x) 6 p,¯ причем vi0(¯x) = p,¯ если ti > 0; p¯ 6 c0(¯x), причем p¯ = c0(¯x), если x¯ > 0.
Предположим, что x¯ > 0 (равновесие внутреннее, с положительным количеством обще-
ственного блага). Тогда существует потребитель i1 такой, что ti > 0 и, следовательно, vi01 (¯x) = c0(¯x).
Если vi0(¯x) > 0, и существует не совпадающий с i1 потребитель, для которого это неравенство строгое, то Pi I vi0(¯x) > c0(¯x).
Предположим, что предельные полезности vi0(x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c0(y) всюду положительны и не убывают. Тогда x¯ > xˆ, где xˆ — Парето-оптимальный объем производства (и потребле-
ния) общественного блага. Это следует из того, что W 0(x) = Pi I vi0(x) − c0(x) — убывающая функция, W 0(¯x) > 0, и W 0(ˆx) 6 0.
Появление этого эффекта недопроизводства общественных благ легко понять в контексте проводившегося нами анализа экстерналий, когда каждый потребитель, планируя приобретение общественного блага, не учитывает влияния своих действий (поскольку не заинтересован
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
403 |
при таком механизме его финансирования учитывать это влияние) на рост благосостояния других потребителей, а поэтому планирует приобрести его слишком мало. Эта незаинтересованность учитывать влияние своих действий на благосостояние других участников составляет суть проблемы безбилетника: каждый потребитель заинтересован в увеличении вклада в финансирование общественного блага другими, но не заинтересован сам в увеличении своего.
Кто именно из потребителей будет безбилетником в квазилинейной экономике можно в ситуации, когда потребители ранжированы по их предельной оценке общественного блага безотносительно объема его потребления, т. е. в случае, если выполняется соотношение
v10 (x) < v20 (x) < · · · < vm0 (x) x > 0.
Проанализируем свойства равновесий с добровольным финансированием в этой ситуации.
Пусть ¯ — такое равновесие. Тогда
(¯p, t, x,¯ y¯)
|
|
|
|
v0 |
(¯x) |
6 |
p¯. |
|
|
|
|
|
6 |
|
m |
|
|
|
|
6 |
|
i |
m |
i |
(¯x) < p¯. Это влечет за собой то, что t¯i = 0 |
, |
||||||
Поскольку v0 |
(¯x) < v0 (¯x) |
i = m, то v0 |
|
i = m, |
||||||
т. е. все потребители, кроме m не участвуют в финансировании общественного блага. (Аналогичный результат имеет место и в дискретном случае, когда
v1 < v2 < · · · < vm.
А именно, в равновесии общественное благо может финансировать только m-й потребитель.)
Таким образом, ¯m , и возможны равновесия двух типов: x¯ = t /p¯
¯
(1) tm = 0 и y¯ = 0,
¯
(2) tm > 0 и y¯ > 0.
В первом случае vm0 (0) 6 p¯ 6 c0(0)12. Поскольку предельная полезность vm0 (x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать равновесию.
Во втором случае vm0 (¯x) = p¯ = c0(¯x). Как и в первом случае, поскольку предельная полезность vm0 (x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать равновесию. Данную ситуацию иллюстрирует Рис. 11.3.
Pivi0(y)
c0(y)
v20 (y) |
v0 |
(y) |
|
.. . |
m |
|
|
p¯ |
|
|
|
|
|
|
|
v10 (y) |
|
|
|
y
y¯ yˆ
Рис. 11.3. Равновесие с добровольным финансированием при упорядоченности оценок
Если vm0 (0) < c0(0), то равновесие может быть только первого типа, а если vm0 (0) > c0(0), то равновесие может быть только второго типа.
12Если величины vm0 (0) и c0(0) не определены, то эти величины в неравенстве следует заменить соответствующими пределами.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием |
404 |
Предположим дополнительно, что функция vm0 (x)−c0(x) убывает. Тогда необходимые условия равновесия являются достаточными. А именно, если
0 0 ¯
x¯ = y¯p¯ = vm(¯x) = c (¯y), tm = p¯x,¯
и
¯ 6
ti = 0, i = m,
то ¯ является равновесием с добровольным финансированием. Действительно, необ-
(¯p, t, x,¯ y¯)
ходимые условия решений задач потребителя и производителя выполнены, поскольку
v0 |
(¯x) < v0 |
(¯x) = p¯ = c0(¯y) |
и |
t¯ |
= 0, i = m. |
i |
m |
|
i |
6 |
Сделанные выше предположения относительно поведения предельных полезностей и предельных издержек гарантируют, что необходимые условия решений задач потребителя и производителя являются достаточными.
Аналогично, если vm0 (0) 6 p¯ 6 c0(0), то (¯p, 0, 0, 0) является равновесием с добровольным финансированием.
Отсюда следует, что (если функция vm0 (x) − c0(x) непрерывна) равновесие существует тогда и только тогда, когда существует объем общественного блага x такой, что c0(x) > vm0 (x). Поскольку равновесный объем x¯ удовлетворяет этому условию, то это условие является необходимым. Поэтому остается доказать достаточность. Действительно, если vm0 (0) 6 c0(0), то существует равновесие с x¯ = 0. Если же vm0 (0) > c0(0), то по непрерывности существует x¯ > 0, такой что vm0 (¯x) = c0(¯x), и на его основе можно сконструировать равновесие.
Кроме того, в рассматриваемых условиях равновесие единственно. Читатель может доказать это самостоятельно.
Пример 54:
Пусть
ui(x, zi) = 2αi ln x + zi, c(y) = y2.
Оптимальный объем производства общественного блага составляет тогда величину yˆ, удовлетворяющую соотношению Самуэльсона:
X vi0(ˆx) = c0(ˆx).
i I
В данном примере это соотношение имеет вид
X(2αi/xˆ) = 2ˆx или xˆ2 = X αi.
i I |
i I |
Заметим попутно, что rˆ = xˆ2 — это как раз издержки производства общественного блага. Таким образом, оптимальный объем общественных расходов составляет величину
X
rˆ = αi.
i I
В случае же равновесия с добровольным финансированием
vi0(¯x) 6 c0(¯x) i,
т. е.
2αi/x¯ 6 2¯x i или x¯2 > αi i.