206 Mba за 10 дней

Двойная удача — «орел»/«орел»

Одна удача/одна неудача — «орел»/«решка»

Две неудачи — «решка»/«решка»

Результаты подбрасывания монеты лежат в основе наиболее распространенного

биномиального распределения (binomial distribution).

При биномиальном распределении существуют всего два исхода — удача

и неудача, вероятности которых в сумме дают единицу.

Кажущуюся загадочной теорию биномиального распределения можно

применить к такому практическому делу, как анализ рынка акций. Удачей

или благоприятным исходом можно считать прибыль на акцию по

итогам месяца, а неудачей или неблагоприятным исходом — убыток или

нулевую прибыль. В исследовании динамики цен на акции компании

AT&T в период с 1957 по 1977 г. был проанализирован каждый месяц для

определения уровня прибыли. Установили, что 56,7% времени 20-летнего

периода вложение денег в эти акции завершалось благоприятным исходом,

т.е. получением прибыли.

Исследованные месяцы были объединены в группы по три (кварталы).

Исследователи заметили, что частота событий с благоприятным исходом

была следующей:

Количество благоприятных исходов Наблюдаемая частота

0 0,088

1 0,325

2 0,387

3 0,200

1,000

Математик, подбрасывавший монету, составил таблицы для решения

всех задач, связанных с биномиальными распределениями. В примере с

компанией AT&T для пользования такой таблицей необходимо иметь

следующую информацию:

г (число возможных удач или благоприятных исходов) = от 0 до 3;

п (число попыток) = 3 (3 месяца в квартале);

р (вероятность успеха или благоприятного исхода) = 56,7%.

ДЕНЬ 5 / КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА 207

На основании этих данных таблица биномиального распределения

дает следующий прогноз ожидаемых благоприятных исходов:

Количество благоприятных исходов Ожидаемая частота

0 0,082

1 0,318

2 0,416

3 0,184

1,000

Как ни странно, биномиальное распределение довольно хорошо

коррелирует с фактическими результатами анализа данных по AT&T При

принятой вероятности благоприятного исхода (probability of success)

(р) вероятность получения прибыли по итогам месяца в течение квартала

можно узнать из таблицы. Поэтому портфельные менеджеры, директора

по продажам и аналитики-исследователи могут использовать биномиальные

распределения на практике для оценки вероятностей тех или

иных исходов.

Нормальное распределение: тайна колоколообразной кривой

Нормальное распределение (normal distribution) используется чаще

всего, а его графическое представление обычно называют колоколообразной

кривой (bell curve). В Гарвардской бизнес-школе колоколообраз-

ную кривую используют для выставления оценок. Кривая показывает, что

15% Слушателей получают оценку «неудовлетворительно» («хвостисты»,

которые обязаны сдавать тему повторно). В Дарденской бизнес-школе

преподаватели ставят неудовлетворительную оценку, основываясь на

собственном суждении. Результат: в двух кампусах сложились принципиально

различные конкурентные ситуации (см. с. 208).

Когда в основе гистограммы лежит множество попыток, кривая имеет

тенденцию к завершенности формы и принимает колоколообразные

очертания. Такую кривую мы называем функцией плотности вероятности.

Именно такой была кривая в примере с ситуацией с дождями в Сиэтле.

Появление на кривой горба в середине обусловлено центральной

предельной теоремой (central limit theorem). Она гласит, что «распределение

средних арифметических (averages) для повторяющихся независимых

выборок принимает форму колоколообразного нормального

распределения». Почему? Просто потому, что при большом числе не-