208 Mba за 10 дней

Колоколообразная кривая выставления оценок слушателям

зависимых выборок исход стремится к центральному среднему арифметическому

(т. е. при большом числе независимых выборок средние по

выборкам одинаково часто отклоняются как в положительную, так и в

отрицательную сторону от некоего «центра» (его называют «средним по

генеральной совокупности»), причем чем больше это отклонение, тем

реже оно происходит. — Прим.ред.).

Концепция «средних по выборкам» довольно расплывчата. На практике

это утверждение (утверждение о нормальном распределении средних

по выборкам) часто распространяется на любую большую совокупность

данных. Почему? Потому что нормальное распределение очень

легко использовать, и оно неплохо аппроксимирует реальность. Курс акций

— это отражение многочисленных конъюнктурных колебаний на

рынке, результатом которых является благоприятный или неблагоприятный

исход (прибыль или убыток соответственно). Исход как таковой

можно рассматривать в качестве «среднего арифметического» таких

конъюнктурных колебаний. Едва ли не все происходящее можно рационализировать

через среднее арифметическое, и этим объясняется полезность

нормальных распределений.

Характеристики нормальной кривой. Колоколообразная, или

нормальная, кривая описывается двумя характеристиками: средним (mean)

и его среднеквадратическим (или стандартным) отклонением

ДЕНЬ 5 / КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА 209

(СКО) (standard deviation). Среднее (ju) является центром распределения.

Обычно его называют средним арифметическим. Оно есть результат деления

суммы значений на их количество. Среднеквадратическое отклонение

(о) показывает, насколько распределение распространяется

вширь. СКО можно также описать как критерий «разброса случайной величины

вокруг среднего». Две эти характеристики являются важнейшими

для большей части концепций теории вероятностей.

Существуют другие разновидности средних для совокупности данных:

медиана (median) — величина, стоящая в середине совокупности

данных, упорядоченных по возрастанию (так, что половина данных в выборке

меньше медианы, а половина — больше), имода (mode) — величина,

чаще всего встречающаяся в совокупности данных.

Функция плотности вероятности, представленная

разными значениями среднеквадратического отклонения

Вероятность

Среднее

оЛ > о 2 > аг

Как и в случае биномиального распределения, для нормального распределения

сумма всех исходов, представленная площадью под кривой,

равна 100%. Необычность нормальной кривой придает тот факт, что при

любом значении СКО вероятность события не изменяется и не зависит от

формы нормального распределения. (Особенность нормальной кривой в

том, что при любом отклонении случайной величины от среднего значения,

если измерять это отклонение в величинах СКО, вероятность отклонения

будет одна и та же независимо от величины СКО. — Прим.ред.).

210 Mba за 10 дней

Пример нормального распределения из розничной торговли. Эл

Банди, владелец обувного магазина, хочет быть уверенным в том, что запасы

на его складе достаточны для удовлетворения покупательниц с любым

размером ноги. Он оплатил Академии ног расходы на исследование

по поводу частоты встречающихся среди женщин размеров ног и получил

совокупность данных, собранных путем опроса.

Он обработал эти данные и получил нормальное распределение. Он

также ввел в свой калькулятор данные по ряду размеров, нажал на кнопку

«среднее квадратическое отклонение» и получил ответ «2». Эл ввел среднее,

или среднее арифметическое, для всей совокупности ответов по размерам

и получил ответ «7». Посмотрев на построенную кривую, он сделал вывод,

что она похожа на внушающее доверие нормальное распределение.

Нормальное распределение для размеров обуви

Вероятность

-За -2а Ао

1 3 5

ju +1сг +2а +3сг

7 9 11 13

Среднее

Сравнительные размеры обуви

РОССИЯ

США

35

4

36

5

37

6

38

7

39

8

40

9

Распознав кривую, Эл может применить правила, присущие любому

нормальному распределению. Площадь участков под кривой при разных

значениях отклонения от среднего значения будет следующей:

1СКО

2СКО =

зско = 4СКО =

= 0,3413

= 0,4772

= 0,49865

= 0,4999683

ДЕНЬ 5 / КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА 211

Если м-р Банди, используя эти правила, запасет размеры с 5-го по 9-й,

он сможет удовлетворить потребности 68,26% (0,3413 х 2) всех местных

покупательниц. Расширив ассортимент склада с 3-го по 11-й размеры, он

сможет обуть 95,44% местных женщин. Если же Эл будет иметь на складе

размеры с 1 -го по 13-й, то 99,73% покупательниц уйдут от него с покупкой.

Для тех уникумов, которые носят размеры меньше 1 -го и больше 13-го, он

всегда может предложить систему специальных заказов.

Естественно, таблицы нормальных распределений составлены для

определения вероятности отклонения любой конкретной точки на кривой

(с учетом нецелочисленных СКО) от среднего. Для пользования таблицами

необходимо рассчитать значение Z.

Z = [(Интересующая точка) - Среднее]/СКО

Пример использования нормальной кривой

в финансовой деятельности

Давайте применим усвоенные фрагменты теории вероятностей к финансовой

деятельности. Предполагается, что, как показано на прилагаемом

графике (см. с. 212), ежемесячная прибыль на акции компании

Pioneer Aviation, курс которых неустойчив, описывается нормальным

распределением. Сводные данные по прибыли в ретроспективе показывают,

что среднее (центр распределения) равно 1%, а СКО (разброс) —